1. Décomposition en éléments simples
    • On factorise d'abord le dĂ©nominateur : $ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) $.
      La fonction $ f $ est donc définie par : \begin{align*} f : &\mathbb{R}\setminus\{-2, -1\} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{1}{(x+1)^3(x+2)^3} \end{align*}
    • Posons $ a = \frac{1}{x+1} $ et $ b = \frac{1}{x+2} $.
    • Remarquons que : \[ a - b = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2 - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)} = ab \]
    • On en dĂ©duit l'expression de $ f(x) $ : \[ \begin{aligned} f(x) &= (ab)^3 \\ &= (a - b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ &= a^3 - 3a(ab) + 3b(ab) - b^3 \\ &= a^3 - 3a(a - b) + 3b(a - b) - b^3 \\ &= a^3 - 3a^2 + 3(a - b) + 3(a - b) - 3b^2 - b^3 \\ &= a^3 - 3a^2 + 6(a - b) - 3b^2 - b^3 \\ &= a^3 - 3a^2 + 6a - 6b - 3b^2 - b^3 \end{aligned} \]
    • En remplaçant $ a $ et $ b $ par leurs expressions initiales, on obtient pour tout $ x \in [2;3] $ : \[ f(x) = \frac{1}{(x+1)^3} - \frac{1}{(x+2)^3} - \frac{3}{(x+1)^2} - \frac{3}{(x+2)^2} + \frac{6}{x+1} - \frac{6}{x+2} \]

  2. Calcul de la suite $ (u_n) $ et de sa limite
    • On intĂšgre $ f(x) $ terme Ă  terme sur l'intervalle $ [0; n] $. La primitive $ F $ de $ f $ est donnĂ©e par : \[ F(x) = -\frac{1}{2(x+1)^2} + \frac{1}{2(x+2)^2} + \frac{3}{x+1} + \frac{3}{x+2} + 6\ln|x+1| - 6\ln|x+2| \] Ce qui se rĂ©Ă©crit : \[ F(x) = \frac{1}{2(x+2)^2} - \frac{1}{2(x+1)^2} + \frac{3}{x+1} + \frac{3}{x+2} + 6\ln\left(\frac{x+1}{x+2}\right) \]
    • On a $ u_n = F(n) - F(0) $. Évaluons la constante $ F(0) $ : \[ F(0) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 3 + \frac{3}{2} + 6\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{33}{8} - \ln(64) \] L'expression de la suite est donc : \[ u_n = \frac{1}{2(n+2)^2} - \frac{1}{2(n+1)^2} + \frac{3}{n+1} + \frac{3}{n+2} + 6\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right) - \left(\frac{33}{8} - \ln(64)\right) \]
    • Pour dĂ©terminer la limite lorsque $ n \to +\infty $, on note que les termes rationnels tendent tous vers $ 0 $. De plus : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n+2} = 1 \implies \lim_{n \to +\infty} 6\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right) = 0 \] Il ne reste que le terme constant opposĂ© : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = - F(0) = \ln(64) - \frac{33}{8} \]