• 1. ContinuitĂ© de la fonction $ f $ en 3
    • On a:
      \[ f(3) = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} + \frac{9}{4} = \frac{21}{4} \]
    • On Ă©tudie la limite Ă  gauche de $ f $ en 3 :
      \[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \left(-\frac{1}{4}x + 6\right) = -\frac{3}{4} + 6 = -\frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{21}{4} \]
    • On Ă©tudie la limite Ă  droite de $ f $ en 3 :
      \[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \left(x + \frac{9}{4}\right) = 3 + \frac{9}{4} = \frac{21}{4} \]
    • Puisque $ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) $, la fonction $ f $ est continue en $ 3 $.
  • 2. Calcul de l'intĂ©grale $ \int_{-1}^{5} f(x) \,dx $
    • La fonction $ f $ Ă©tant continue sur $ \mathbb{R} $, elle est intĂ©grable sur le segment $ [-1; 5] $. En appliquant la relation de Chasles au point $ x = 3 $:
      \[ \int_{-1}^{5} f(x) \,dx = \int_{-1}^{3} f(x) \,dx + \int_{3}^{5} f(x) \,dx \]
    • On remplace $ f(x) $ par ses expressions respectives sur chaque intervalle :
      \[ \int_{-1}^{5} f(x) \,dx = \int_{-1}^{3} \left(-\frac{1}{4}x + 6\right) \,dx + \int_{3}^{5} \left(x + \frac{9}{4}\right) \,dx \]
    • On dĂ©termine les primitives de chaque fonction polynomiale :
      \[ \int_{-1}^{5} f(x) \,dx = \left[ -\frac{1}{8}x^2 + 6x \right]_{-1}^{3} + \left[ \frac{1}{2}x^2 + \frac{9}{4}x \right]_{3}^{5} \]
    • On Ă©value la premiĂšre partie entre $ -1 $ et $ 3 $ :
      \[ \left( -\frac{9}{8} + 18 \right) - \left( -\frac{1}{8} - 6 \right) = \left( \frac{135}{8} \right) - \left( -\frac{49}{8} \right) = \frac{184}{8} = 23 \]
    • On Ă©value la seconde partie entre $ 3 $ et $ 5 $ :
      \[ \left( \frac{25}{2} + \frac{45}{4} \right) - \left( \frac{9}{2} + \frac{27}{4} \right) = \frac{95}{4} - \frac{45}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2} \]
    • On additionne les deux rĂ©sultats pour obtenir la valeur finale :
      \[ \int_{-1}^{5} f(x) \,dx = 23 + \frac{25}{2} = \frac{46}{2} + \frac{25}{2} = \frac{71}{2} \]