1. Calcul de $ I - J $ et $ I + J + K $
    • Par linéarité de l'intégrale, on regroupe $ I $ et $ J $ :
      \[ I - J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^4 x - \sin^4 x \right) dx \]
    • On factorise l'expression sous l'intégrale à l'aide de l'identité remarquable $ a^2 - b^2 $ :
      \[ \cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) \]
    • Sachant que $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $ et que $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) $, on obtient :
      \[ I - J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \,dx = \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]
    • En appliquant les bornes :
      \[ I - J = \frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(0) = 0 \]
    • Pour la seconde expression, on utilise à nouveau la linéarité :
      \[ I + J + K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^4 x + \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x \right) dx \]
    • On reconnaît le développement de l'identité remarquable $ (a+b)^2 $ :
      \[ I + J + K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1^2 \,dx \]
    • La primitive d'une constante donne :
      \[ I + J + K = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \]

    1. Expression de $ 2\sin^2(x)\cos^2(x) $
      • On exprime l'intégrande à l'aide de la formule de duplication du sinus, $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. En élevant au carré, on a :
        \[ \sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x \]
      • On en déduit que :
        \[ 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x) \]
      • On utilise ensuite la formule de duplication du cosinus : $ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) $, ce qui permet d'isoler $ \sin^2(2x) $ :
        \[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} \]
      • En remplaçant cette expression dans la première égalité, on trouve :
        \[ 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = \frac{1 - \cos(4x)}{4} \]
    2. Calcul de $ K $ et déduction de $ I $ et $ J $
      • Grâce à la linéarisation obtenue à la question précédente, l'intégrale $ K $ s'écrit :
        \[ K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4x)}{4} \,dx = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(4x)) \,dx \]
      • On détermine la primitive :
        \[ K = \frac{1}{4} \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]
      • En appliquant les bornes :
        \[ K = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi) \right) - \frac{1}{4} \left( 0 - \frac{1}{4}\sin(0) \right) = \frac{\pi}{8} \]
      • Pour déduire $ I $ et $ J $, on résout le système formé par les équations de la question 1 :
        \[ \begin{cases} I - J = 0 \implies I = J \\ I + J + K = \frac{\pi}{2} \end{cases} \]
      • En remplaçant $ J $ par $ I $ et $ K $ par sa valeur dans la deuxième équation :
        \[ 2I + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \] \[ 2I = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8} \]
      • On isole $ I $ et on conclut :
        \[ I = \frac{3\pi}{16} \quad \text{et} \quad J = \frac{3\pi}{16} \]
Méthode alternative : Calcul de $~ I + J - K $
  • Calcul de l'expression
    • En utilisant la linéarité de l'intégrale, on peut regrouper les termes :
      \[ I + J - K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^4 x + \sin^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x \right) dx \]
    • On reconnaît le développement de l'identité remarquable $(a-b)^2$ avec $a = \cos^2 x$ et $b = \sin^2 x$ :
      \[ I + J - K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 x - \sin^2 x \right)^2 dx \]
    • Sachant que $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) $, l'expression se simplifie en :
      \[ I + J - K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(2x) \,dx \]
    • En linéarisant $\cos^2(2x)$ à l'aide de la formule $ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $, on obtient :
      \[ I + J - K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(4x)}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(4x)) \,dx \]
    • On détermine la primitive :
      \[ I + J - K = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]
    • En appliquant les bornes :
      \[ I + J - K = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - 0 = \frac{\pi}{4} \]
  • Résolution du système et déduction de $ I $, $J$ et $ K $
    • Grâce aux calculs précédents, nous savons que $I = J$ (car $I - J = 0$) et que $I + J + K = \frac{\pi}{2}$.
    • En remplaçant $J$ par $ I $, nous obtenons un système simple de deux équations à deux inconnues ($I$ et $K$) :
      \[ \begin{cases} 2I + K = \frac{\pi}{2} \\ 2I - K = \frac{\pi}{4} \end{cases} \]
    • En additionnant les deux équations membre à membre, on élimine $K$ :
      \[ 4I = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \implies I = \frac{3\pi}{16} \]
    • Puisque $ I = J $, on a immédiatement $J = \frac{3\pi}{16}$.
    • En soustrayant les deux équations membre à membre, on élimine $I$ :
      \[ 2K = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \implies K = \frac{\pi}{8} \]