• Calcul de $ I + J $

  • Par linéarité de l'intégrale, on a :
    \[ I + J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} + \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \right) dx \]
  • On regroupe les numérateurs sous le même dénominateur :
    \[ I + J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx \]
  • Soit: \[ I + J = \frac{\pi}{2} \]

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• Calcul de $ I - J $

  • Toujours par linéarité, on obtient :
    \[ I - J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \,dx \]
  • On pose $ u(x) = \cos x + \sin x $.
  • Sa dérivée est $ u'(x) = -\sin x + \cos x = \cos x - \sin x $.
  • On reconnaît la forme $ \int \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx $. En appliquant le principe de la dérivée de la composée, on sait qu'une primitive est de la forme $ \ln(|u(x)|) $.
  • On en déduit :
    \[ I - J = \left[ \ln|\cos x + \sin x| \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \]
  • En calculant les valeurs aux bornes :
    \[ I - J = \ln\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right| - \ln|\cos(0) + \sin(0)| \] \[ I - J = \ln|0 + 1| - \ln|1 + 0| = \ln(1) - \ln(1) = 0 \]

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• Déduction des valeurs de $ I $ et $ J $

  • Nous disposons maintenant du système d'équations suivant :
    \[ \begin{cases} I + J = \frac{\pi}{2} \\ I - J = 0 \end{cases} \]
  • La deuxième ligne nous donne directement $ I = J $.
  • En remplaçant $ J $ par $ I $ dans la première équation, il vient :
    \[ 2I = \frac{\pi}{2} \implies I = \frac{\pi}{4} \]
  • Puisque $ I = J $, on conclut finalement que :
    \[ I = \frac{\pi}{4} \quad \text{et} \quad J = \frac{\pi}{4} \]

Méthode alternative : Par symétrie pour $ I - J $

• Transformation de l'intégrande

  • En factorisant le numérateur et le dénominateur par $ \cos x $ (non nul sur l'intervalle d'intégration, sauf en $ \frac{\pi}{2} $ où l'on raisonne par prolongement par continuité), on obtient :
    \[ f(x) = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \]
  • On reconnaît la formule d'addition de la tangente $ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $ avec $ a = \frac{\pi}{4} $ (car $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $) et $ b = x $. On a donc :
    \[ f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) \]

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• Utilisation du centre de symétrie

  • La relation $ f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) $ montre que le point de coordonnées $ \left(\frac{\pi}{4}; 0\right) $ est un centre de symétrie pour la courbe.
  • Pour le prouver analytiquement, on effectue le changement de variable $ t = x - \frac{\pi}{4} $, ce qui donne $ x = t + \frac{\pi}{4} $.
  • Les nouvelles bornes deviennent : pour $ x = 0 $, $ t = -\frac{\pi}{4} $ et pour $ x = \frac{\pi}{2} $, $ t = \frac{\pi}{4} $. L'intégrale devient :
    \[ I - J = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan\left(\frac{\pi}{4} - \left(t + \frac{\pi}{4}\right)\right) \,dt = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan(-t) \,dt \]
  • Puisque la fonction $ t \longmapsto \tan(-t) = -\tan(t) $ est impaire, son intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à zéro est nulle :
    \[ I - J = 0 \]

Méthode alternative : Symétrie des bornes d'intégration

1. Application de la propriété d'intégration

   • On utilise la propriété fondamentale du changement de variable affine $ t = a + b - x $ :
     $$ \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx $$
   • En appliquant cette propriété à l'intégrale $ I $ avec les bornes $ a = 0 $ et $ b = \frac{\pi}{2} $, on obtient :
     $$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \,dx $$

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2. Simplification trigonométrique et déduction

   • On rappelle les relations trigonométriques liées aux angles complémentaires : $ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x $ et $ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x $.
   • En remplaçant ces expressions dans l'intégrale, on retombe exactement sur l'expression de $ J $ :
     $$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \,dx = J $$
   • Nous avons démontré précédemment par linéarité que $ I + J = \frac{\pi}{2} $. Puisque $ I = J $, on en déduit très simplement :
     $$ 2I = \frac{\pi}{2} \implies I = J = \frac{\pi}{4} $$