-
Démonstration de l'égalité
- On exprime $ \sin(2x) $ en fonction de $ \tan x $. Pour tout $ x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right] $, on sait que :
\[ \sin(2x) = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} \] - On remplace cette expression dans le dénominateur :
\[ 1 + \sin(2x) = 1 + \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} = \frac{1+\tan^2 x + 2\tan x}{1+\tan^2 x} \] - On reconnaßt une identité remarquable au numérateur de cette fraction :
\[ 1 + \sin(2x) = \frac{(1+\tan x)^2}{1+\tan^2 x} \] - En prenant l'inverse de cette expression, on obtient bien le résultat demandé :
\[ \frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2} \]
- On exprime $ \sin(2x) $ en fonction de $ \tan x $. Pour tout $ x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right] $, on sait que :
-
Calcul de l'intégrale $ I $
- D'aprÚs la question précédente, on peut réécrire l'intégrale ainsi :
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2} \,dx \] - On pose $ u(x) = 1 + \tan x $.
- La dérivée de cette fonction est $ u'(x) = 1 + \tan^2 x $.
- L'intégrale est de la forme $ \int \frac{u'(x)}{(u(x))^2} \,dx $. En reconnaissant l'expression liée à la dérivée de la composée, on sait qu'une primitive est $ -\frac{1}{u(x)} $.
- On obtient donc :
\[ I = \left[ -\frac{1}{1+\tan x} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] - En appliquant les bornes :
\[ I = \left( -\frac{1}{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} \right) - \left(-\frac{1}{1+\tan(0)}\right) \] - Sachant que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ et $ \tan(0) = 0 $ :
\[ I = -\frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+0} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \]
- D'aprÚs la question précédente, on peut réécrire l'intégrale ainsi :