Correction de l'exercice
  1. Calcul de $ B_1 $
    1. On pose le changement de variable $ u = x - 1 $, ce qui donne $ x = u + 1 $.
    2. On en déduit que $ du = dx $. Les bornes deviennent $ u = 0 $ pour $ x = 1 $, et $ u = 1 $ pour $ x = 2 $.
    \[ B_1 = \int_{0}^{1} (u+1)\sqrt{u} \, du = \int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du \] \[ B_1 = \left[ \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} \] \[ B_1 = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15} \]
  2. Calcul de $ B_2 $
    1. On effectue le changement de variable $ u = t - 1 $, d'où $ t = u + 1 $ et $ du = dt $.
    2. Les nouvelles bornes d'intégration sont : $ u = 1 $ (pour $ t = 2 $) et $ u = 4 $ (pour $ t = 5 $).
    \[ B_2 = \int_{1}^{4} \frac{u+1}{\sqrt{u}} \, du = \int_{1}^{4} \left( u^{1/2} + u^{-1/2} \right) \, du \] \[ B_2 = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{1}^{4} \] \[ B_2 = \left( \frac{2}{3}(8) + 2(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(1) + 2(1) \right) \] \[ B_2 = \frac{16}{3} + 4 - \frac{8}{3} = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \]
    3. Correction de l'évaluation pour B_3
    1. Détail du calcul aux bornes
      1. On reprend la primitive évaluée aux bornes : $ \left[ 2u + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}}\right| \right]_{\sqrt{3}}^{2} $.
      2. Évaluation en $ 2 $
        : on rationalise le dénominateur du quotient à l'intérieur du logarithme.
        $ \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2})^2}{4-2} = \frac{(2-\sqrt{2})^2}{2} $.
      3. On fait alors entrer le logarithme :
        $ \ln\left(\frac{(2-\sqrt{2})^2}{2}\right) = 2\ln(2-\sqrt{2}) - \ln(2) $.
      4. La borne supérieure devient donc :
        $ 4 + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2\ln(2-\sqrt{2}) - \ln(2) \right) = 4 + \sqrt{2}\ln(2-\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}}\ln(2) $.
        5. Évaluation en $\sqrt{3}$ :
        $2\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln(5-2\sqrt{6})$.
      \[ B_3 = 4 - 2\sqrt{3} + \sqrt{2}\ln(2-\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}}\ln(2) - \frac{1}{\sqrt{2}}\ln(5-2\sqrt{6}) \]
  3. Calcul de $ B_4 $
    1. On pose $ u = \sqrt{x} $, ce qui donne $ x = u^2 $ et $ dx = 2u \, du $.
    2. Les bornes deviennent $ u = 2 $ pour $ x = 4 $, et $ u = 3 $ pour $ x = 9 $.
    3. L'expression se simplifie : $ \frac{2u}{u^2+u} \, du = \frac{2}{u+1} \, du $. On reconnaît la dérivée de la composée pour le logarithme.
    \[ B_4 = \int_{2}^{3} \frac{2}{u+1} \, du \] \[ B_4 = 2 \left[ \ln(u+1) \right]_{2}^{3} \] \[ B_4 = 2\ln(4) - 2\ln(3) = 2\ln\left(\frac{4}{3}\right) \]
  4. Calcul de $ B_5 $
    1. On effectue le changement de variable $ u = \sqrt{x} $, d'où $ x = u^2 $ et $ dx = 2u \, du $.
    2. Les bornes deviennent $ u = 1 $ pour $ x = 1 $, et $ u = 2 $ pour $ x = 4 $.
    3. En remplaçant, on obtient $ \frac{2u}{u(u^2+1)} \, du = \frac{2}{u^2+1} \, du $. On fait ainsi apparaître la dérivée de la composée associée à l'arctangente.
    \[ B_5 = \int_{1}^{2} \frac{2}{u^2+1} \, du \] \[ B_5 = 2 \left[ \arctan(u) \right]_{1}^{2} \] \[ B_5 = 2\arctan(2) - 2\arctan(1) = 2\arctan(2) - \frac{\pi}{2} \]
  5. Calcul de $ B_6 $
    1. On décompose la fraction rationnelle en éléments simples : $ \frac{2x}{(x-1)(x+2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+2} $.
    2. Par identification, on résout $ a(x+2) + b(x-1) = 2x $. Pour $ x=1 $, $ 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3} $. Pour $ x=-2 $, $ -3b = -4 \implies b = \frac{4}{3} $.
    3. On intègre ensuite en utilisant la dérivée de la composée pour la fonction logarithme.
    \[ B_6 = \int_{2}^{3} \left( \frac{2/3}{x-1} + \frac{4/3}{x+2} \right) \, dx \] \[ B_6 = \left[ \frac{2}{3}\ln(x-1) + \frac{4}{3}\ln(x+2) \right]_{2}^{3} \] \[ B_6 = \left( \frac{2}{3}\ln(2) + \frac{4}{3}\ln(5) \right) - \left( 0 + \frac{4}{3}\ln(4) \right) \] \[ B_6 = \frac{4}{3}\ln(5) + \frac{2}{3}\ln(2) - \frac{8}{3}\ln(2) = \frac{4}{3}\ln(5) - 2\ln(2) \]