1. Calcul de $ A_1 $
    • On reconnaît la forme de la dérivée de la composée $ u'u^n $ avec $ u(t) = t^2 + 2 $ et $ n = 7 $.
    • On a $ u'(t) = 2t $, donc $ t(t^2+2)^7 = \frac{1}{2} u'(t)(u(t))^7 $.
    • Une primitive est donc $ \frac{1}{2} \frac{(u(t))^8}{8} = \frac{1}{16} (t^2+2)^8 $.
    \[ A_1 = \left[ \frac{1}{16} (t^2+2)^8 \right]_{-2}^{3} \] \[ A_1 = \frac{1}{16} \left( 11^8 - 6^8 \right) \]
  2. Calcul de $ A_2 $
    • On développe l'expression à intégrer : $ \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 = t - 2 + \frac{1}{t} $.
    \[ A_2 = \int_{1}^{4} \left( t - 2 + \frac{1}{t} \right) \, dt \] \[ A_2 = \left[ \frac{t^2}{2} - 2t + \ln(t) \right]_{1}^{4} \] \[ A_2 = \left( 8 - 8 + \ln(4) \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + 0 \right) \] \[ A_2 = 2\ln(2) + \frac{3}{2} \]
  3. Calcul de $ A_3 $
    • On identifie la dérivée de la composée de la forme $ \frac{u'}{\sqrt{u}} $ avec $ u(x) = 2x+1 $ et $ u'(x) = 2 $.
    • On écrit $ \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{2} \frac{2}{\sqrt{2x+1}} $.
    • Une primitive est $ \sqrt{u(x)} = \sqrt{2x+1} $.
    \[ A_3 = \left[ \sqrt{2x+1} \right]_{0}^{1} \] \[ A_3 = \sqrt{3} - 1 \]
  4. Calcul de $ A_4 $
    • On écrit la fonction sous la forme $ (2x+1)^{-2018} $ et on fait apparaître la dérivée de la composée avec $ u(x) = 2x+1 $ et $ u'(x) = 2 $.
    \[ A_4 = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2(2x+1)^{-2018} \, dx \] \[ A_4 = \frac{1}{2} \left[ \frac{(2x+1)^{-2017}}{-2017} \right]_{0}^{1} \] \[ A_4 = -\frac{1}{4034} \left( 3^{-2017} - 1 \right) = \frac{1}{4034} \left( 1 - \frac{1}{3^{2017}} \right) \]
  5. Calcul de $ A_5 $
    • On simplifie l'expression en utilisant les puissances rationnelles : $ x^{20}\sqrt{x} = x^{20} \cdot x^{1/2} = x^{41/2} $.
    \[ A_5 = \int_{0}^{1} x^{41/2} \, dx \] \[ A_5 = \left[ \frac{x^{43/2}}{43/2} \right]_{0}^{1} \] \[ A_5 = \frac{2}{43} (1 - 0) = \frac{2}{43} \]
  6. Calcul de $ A_6 $
    • On pose $ u(x) = x^2 + 4x $. On a $ u'(x) = 2x + 4 = 2(x+2) $.
    • L'intégrande s'écrit $ \frac{1}{2} u'(x)(u(x))^{1/2} $, qui correspond à la dérivée de la composée.
    • Une primitive est $ \frac{1}{2} \frac{(u(x))^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3} (x^2+4x)^{3/2} $.
    \[ A_6 = \left[ \frac{1}{3} (x^2+4x)^{3/2} \right]_{0}^{2} \] \[ A_6 = \frac{1}{3} (12^{3/2} - 0) = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{12} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \]
  7. Calcul de $ A_7 $
    • On écrit la fonction sous forme d'exposant fractionnaire : $ (1+x)^{-1/3} $.
    • C'est directement la dérivée de la composée avec $ u(x) = 1+x $ et $ u'(x) = 1 $.
    \[ A_7 = \int_{0}^{7} (1+x)^{-1/3} \, dx \] \[ A_7 = \left[ \frac{(1+x)^{2/3}}{2/3} \right]_{0}^{7} \] \[ A_7 = \frac{3}{2} \left( 8^{2/3} - 1^{2/3} \right) \] \[ A_7 = \frac{3}{2} (4 - 1) = \frac{9}{2} \]
  8. Calcul de $ A_8 $
    • On fait apparaître la dérivée de la composée pour la fonction arctangente : $ \frac{u'}{1+u^2} $.
    • En identifiant $ u(x) = x^2 $, on a $ u'(x) = 2x $ et l'intégrande s'écrit $ \frac{1}{2} \frac{2x}{1+(x^2)^2} $.
    \[ A_8 = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{1+(x^2)^2} \, dx \] \[ A_8 = \frac{1}{2} \left[ \arctan(x^2) \right]_{0}^{1} \] \[ A_8 = \frac{1}{2} (\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{\pi}{8} \]