Correction : Piège de continuité et fonction partie entière

1. Calcul de $ f(m) $

   • Puisque $ m $ est un entier alors: $ E(m) = m $.
   • Le nombre $ -m $ est également un entier, donc: $ E(-m) = -m $.
   • En remplaçant dans l'expression de la fonction, on obtient :
   \[ f(m) = m + (-m) = 0 \]



2. Analyse des limites en $ m $

   1. • Pour $ x $ tendant vers $ m $ par valeurs supérieures, on a: \[ m < x < m + 1 \]
      • Sur cet intervalle, par définition, $ E(x) = m $.
      • En multipliant l'inégalité par $ -1 $, on obtient: \[ -m - 1 < -x < -m \] Ce qui donne: \[E(-x) = -m - 1 \]
      • Par conséquent \[\lim_{x \to m^+} f(x) = -1 \]
   2. • Pour $ x $ tendant vers $ m $ par valeurs inférieures, on a: \[m - 1 < x < m \]
      • Sur cet intervalle, par définition: $ E(x) = m - 1 $.
      • En multipliant l'inégalité par $ -1 $, on obtient: \[-m < -x < -m + 1 \] La partie entière de $ -x $ est donc $ E(-x) = -m $.
      • Par conséquent, $ \lim_{x \to m^-} f(x) = -1 $.
   3. • Les limites à gauche et à droite de $ m $ sont toutes deux finies et égales à $ -1 $.
      • On en déduit que la limite globale existe et vaut : $ \lim_{x \to m} f(x) = -1 $.



3. Conclusion sur la continuité

   • Pour que la fonction $ f $ soit continue au point d'abscisse $ m $, la condition analytique nécessaire et suffisante est que $ \lim_{x \to m} f(x) = f(m) $.
   • D'après nos calculs précédents, la limite existe et vaut $ -1 $, mais l'image de la fonction vaut $ 0 $.
   • Puisque $ -1 \neq 0 $, la fonction $ f $ n'est pas continue en $ m $