Correction : Calcul de limite avec une fonction trigonométrique

Calcul de la limite

• Puisque $ \alpha $ et $ \beta $ sont les racines du polynôme, on peut le factoriser :
\[ ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) \]

• Pour faire apparaître une limite usuelle, multiplions et divisons l'expression par $ a^2(x - \beta)^2 $ (pour $ x \neq \alpha $) :
\[ \frac{1 - \cos(P(x))}{(x - \alpha)^2} = \frac{1 - \cos(P(x))}{a^2(x - \alpha)^2(x - \beta)^2} \times a^2(x - \beta)^2 \] \[ \frac{1 - \cos(P(x))}{(x - \alpha)^2} = \frac{1 - \cos(P(x))}{P(x)^2} \times a^2(x - \beta)^2 \]

• On pose $ X = P(x) $. Lorsque $ x \to \alpha $, on a $ X \to 0 $. La limite trigonométrique usuelle en zéro est :
\[ \lim_{X \to 0} \frac{1 - \cos(X)}{X^2} = \frac{1}{2} \]

• D'autre part, la limite du facteur polynomial lorsque $ x \to \alpha $ est :
\[ \lim_{x \to \alpha} a^2(x - \beta)^2 = a^2(\alpha - \beta)^2 \]

• Par produit des limites, on en déduit le résultat final :
\[ \lim_{x \to \alpha} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \alpha)^2} = \frac{1}{2} a^2(\alpha - \beta)^2 \]