Correction : Étude et prolongement d'une fonction rationnelle (Méthode alternative)

1. Domaine de définition $ D_f $

• La fonction $ f $ est définie si ses dénominateurs sont non nuls, c'est-à-dire $ 1 - x \neq 0 $ et $ 1 - x^3 \neq 0 $.
• On en déduit le domaine de définition :
\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \]

2. Prolongement par continuité en $ 1 $

• Pour $ x \neq 1 $, multiplions l'expression de $ f(x) $ par $ (1 - x) $ pour simplifier les calculs.
\[ (1 - x)f(x) = 1 - \frac{3}{1 + x + x^2} \]

• En réduisant au même dénominateur :
\[ (1 - x)f(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{1 + x + x^2} \]

• En divisant l'équation par $ (1 - x) $ (qui est non nul car $ x \neq 1 $) :
\[ f(x) = \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2} \]

• On peut maintenant passer à la limite lorsque $ x \to 1 $ :
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1^2} = -1 \]

• La limite étant une valeur finie, la fonction $ f $ admet un prolongement par continuité en $ 1 $, défini par $ f(1) = -1 $.