1. Étude de la fonction

1. Continuité de $ f $ sur $ I $ :
   La fonction $ u : x \longmapsto 1-x $ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $ \mathbb{R} $, et en particulier sur $ I = ]-\infty, 1[ $.
   De plus, pour tout $ x \in I $, on a $ 1-x > 0 $. La fonction $ v : t \longmapsto \ln(t) $ est continue sur $ ]0, +\infty[ $.
   Par composition, la fonction $ f = v \circ u $ est continue sur $ I $.


2. Variations de $ f $ :
   La fonction $ f $ est dérivable sur $ I $ comme composée de fonctions dérivables.
   Pour tout $ x \in I $, calculons la dérivée : \[ f'(x) = \frac{(1-x)'}{1-x} = \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{x-1} \] Puisque $ x < 1 $, on a $ x - 1 < 0 $.
   Par conséquent, $ f'(x) < 0 $ pour tout $ x \in I $. La fonction $ f $ est donc strictement décroissante sur $ I $.


3. Calcul des limites :
   • Limite en $ 1^- $ : On pose $ X = 1-x $. Lorsque $ x \to 1^- $, $ X \to 0^+ $. \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty \]
   • Limite en $ -\infty $ : Lorsque $ x \to -\infty $, $ 1-x \to +\infty $. \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty \]
   • Limite du rapport : \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(1-x)}{x} \] Posons $ X = 1-x $, alors $ x = 1-X $. Quand $ x \to -\infty $, $ X \to +\infty $. \[ \lim_{X \to +\infty} \frac{\ln(X)}{1-X} = \lim_{X \to +\infty} \frac{\ln(X)}{X} \times \frac{X}{1-X} \] On sait que $ \lim_{X \to +\infty} \frac{\ln(X)}{X} = 0 $ et $ \lim_{X \to +\infty} \frac{X}{1-X} = -1 $. Donc : $ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 $.


4. Interprétation graphique :
   • Puisque $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty $, la droite d'équation $ x = 1 $ est asymptote verticale à la courbe $ (C) $.
   • Puisque $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $ et $ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 $, la courbe $ (C) $ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $ -\infty $.


6. Tableau de variations :
   

2. Convexité et Représentation

1. Concavité de la courbe :
   Calculons la dérivée seconde de $ f $. Nous avons $ f'(x) = -(1-x)^{-1} $.
   \[ f''(x) = - \left( -1 \times (1-x)^{-2} \times (-1) \right) = \frac{-1}{(1-x)^2} \] Pour tout $ x \in I $, $ (1-x)^2 > 0 $, donc $ f''(x) < 0 $.
   La fonction est concave sur $ I $.


2. Représentation graphique :
   La courbe $ (C) $ présente une asymptote verticale en $ x=1 $, coupe l'axe des abscisses en $ x=0 $ (car $ \ln(1)=0 $) et possède une branche parabolique horizontale vers $ -\infty $.
   
   Courbe C_f

   Légende:

   $f(x)= log(1-x)$

3. Bijection réciproque

1. Bijection :
   La fonction $ f $ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $ I $.
   Elle réalise donc une bijection de $ I $ vers l'image de $ I $ par $ f $ : \[ f(I) = \left] \lim_{x \to 1^-} f(x) ; \lim_{x \to -\infty} f(x) \right[ = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R} \]


2. Expression de $ f^{-1}(x) $ :
   Soit $ y \in I $ et $ x \in \mathbb{R} $. On cherche à résoudre $ y = f(x) $ équivaut à $ x = f^{-1}(y) $.
   Attention aux notations, ici on cherche $ f^{-1}(x) $ en fonction de $ x $. Résolvons $ y = f(t) $ pour $ t $ : \begin{align*} y &= \ln(1-t) \\ e^y &= 1-t \\ t &= 1 - e^y \end{align*} Ainsi, la bijection réciproque est définie par : \begin{align*} f^{-1} : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-\infty, 1[\\ &x \longmapsto 1 - e^x\\ \end{align*}


3. Vérification :
   Calculons $ f^{-1}(-1) $ en utilisant l'expression trouvée : \[ f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1} \] Ce qui correspond bien au résultat demandé.