1. Par définition du logarithme de base $ p $, pour tout $ x > 0 $, on a l'identité $\log_p(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(p)}$.
   En appliquant cette formule, on obtient : \[ \log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{\ln\left(\frac{1}{b}\right)}{\ln\left(\frac{1}{a}\right)} = \frac{-\ln(b)}{-\ln(a)} = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} = \log_a(b) \] De la même manière pour la seconde relation : \[ \log_{\frac{1}{a}}(b) = \frac{\ln(b)}{\ln\left(\frac{1}{a}\right)} = \frac{\ln(b)}{-\ln(a)} = -\frac{\ln(b)}{\ln(a)} = -\log_a(b) \] Or, on sait également que : \[ \log_a \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{\ln\left(\frac{1}{b}\right)}{\ln(a)} = \frac{-\ln(b)}{\ln(a)} = -\log_a(b) \] Par transitivité, on en déduit bien l'égalité : \[ \log_{\frac{1}{a}}(b) = \log_a \left( \frac{1}{b} \right) \]
2. En utilisant à nouveau la formule du changement de base : \[ \log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)} = \frac{1}{\frac{\ln(b)}{\ln(a)}} = \frac{1}{\log_a(b)} \] Pour la seconde égalité, qui correspond à la relation de Chasles pour les logarithmes : \[ \log_c(b) \cdot \log_b(a) = \frac{\ln(b)}{\ln(c)} \cdot \frac{\ln(a)}{\ln(b)} = \frac{\ln(a)}{\ln(c)} = \log_c(a) \]

concavité et symétrie:

1. Posons les poids $ m = \frac{a}{a+b} $ et $ n = \frac{b}{a+b} $.
   Comme $ a $ et $ b $ sont strictement positifs, $ m > 0 $ et $ n > 0 $, avec la relation $ m + n = 1 $.
2. L'expression initiale se réécrit : \[ \frac{a^4 + b^4}{a + b} = m a^3 + n b^3 \]
3. Par stricte concavité de la fonction logarithme sur $ ]0; +\infty[ $ (inégalité de Jensen) : \[ \ln(m a^3 + n b^3) \geqslant m \ln(a^3) + n \ln(b^3) = \ln\left(a^{3m}b^{3n}\right) \] La fonction exponentielle étant strictement croissante : \[ m a^3 + n b^3 \geqslant a^{3m}b^{3n} \]
4. Il reste à comparer $ a^{3m}b^{3n} $ et $ (ab)^{\frac{3}{2}} $. Élever ces deux quantités strictement positives à la puissance $ \frac{1}{3} $ revient à comparer $ a^mb^n $ et $ (ab)^{\frac{1}{2}} $.
   En divisant par $ (ab)^{\frac{1}{2}} $, l'inégalité équivaut à comparer $ a^{m - \frac{1}{2}} b^{n - \frac{1}{2}} $ avec $ 1 $.
5. Exploitons la symétrie en posant $ c = m - \frac{1}{2} $. Puisque $ m + n = 1 $, on a $ n - \frac{1}{2} = 1 - m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - m = -c $.
   L'expression se simplifie alors considérablement : \[ a^c b^{-c} = \left(\frac{a}{b}\right)^c \] Étudions les différents cas :
   • Si $ a > b $ : on a $ m = \frac{a}{a+b} > \frac{1}{2} $, donc $ c > 0 $. De plus, $ \frac{a}{b} > 1 $. Une base strictement supérieure à 1 élevée à une puissance strictement positive donne un résultat strictement supérieur à 1. Donc $ \left(\frac{a}{b}\right)^c > 1 $.
   • Si $ a < b $ : on a $ m < \frac{1}{2} $, donc $ c < 0 $. De plus, $ \frac{a}{b} < 1 $. Une base strictement inférieure à 1 élevée à une puissance strictement négative donne un résultat strictement supérieur à 1. Donc $ \left(\frac{a}{b}\right)^c > 1 $.
   • Si $ a = b $ : alors $ c = 0 $, et $ \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 $.
   Dans tous les cas, on a $ \left(\frac{a}{b}\right)^c \geqslant 1 $.
6. On en déduit que $ a^mb^n \geqslant (ab)^{\frac{1}{2}} $, ce qui implique en élevant au cube que $ a^{3m}b^{3n} \geqslant (ab)^{\frac{3}{2}} $.
   Par transitivité avec l'étape 3, l'inégalité finale est formellement prouvée : \[ \frac{a^4 + b^4}{a + b} \geqslant (ab)^{\frac{3}{2}} \]