1. Détermination des réels $a$ et $b$
    • On remplace cette expression dans $f(x)$ :
      $$f(x) = \frac{7x-5}{(x - 1)^2}=\frac{7(x - 1) + 2}{(x - 1)^2}=\frac{7(x - 1)}{(x - 1)^2} + \frac{2}{(x - 1)^2}$$
    • AprĂšs simplification par $(x - 1)$, il vient directement :
      $$f(x) = \frac{7}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1)^2}$$
    • On en dĂ©duit immĂ©diatement: $~a = 7$ et $b = 2$.

  2. DĂ©termination des primitives de $f$ sur $]1 ; +\infty[$
    • On utilise la forme dĂ©composĂ©e de $f$ obtenue Ă  la question prĂ©cĂ©dente.
    • La fonction $x \mapsto \frac{7}{x - 1}$ a pour primitives $~ x \mapsto 7 \ln(x - 1) + C_1$ (car sur $]1 ; +\infty[$, on a $x - 1 > 0$).
    • La fonction $x \mapsto \frac{2}{(x - 1)^2}$ admet pour primitives $~x \mapsto -\frac{2}{x - 1} + C_2$.
    • Les primitives $H$ de $f$ sur $]1 ; +\infty[$ s'Ă©crivent donc :
      $$H(x) = 7 \ln(x - 1) - \frac{2}{x - 1} + C \quad \text{oĂč} \quad C \in \mathbb{R}$$

  3. Primitive $F$ telle que $F(2) = 0$
    • Soit $F(x) = 7 \ln(x - 1) - \frac{2}{x - 1} + C$.
    • La condition $F(2) = 0$ donne :
      $$7 \ln(2 - 1) - \frac{2}{2 - 1} + C = 0$$
    • Sachant que $\ln(1) = 0$, on obtient :
      $$-2 + C = 0 \implies C = 2$$
    • L'expression de la primitive est donc :
      $$F(x) = 7 \ln(x - 1) +\frac{2(x-2)}{x - 1} $$

  4. Primitive $G$ telle que $G(3) = 1$
    • Soit $G(x) = 7 \ln(x - 1) - \frac{2}{x - 1} + C'$.
    • La condition $G(3) = 1$ donne :
      $$7 \ln(3 - 1) - \frac{2}{3 - 1} + C' = 1$$
    • Ce qui se simplifie en :
      $$7 \ln(2) - 1 + C' = 1 \implies C' = 2 - 7 \ln(2)$$
    • L'expression de la primitive est donc :
      $$G(x) = 7 \ln\left(\frac{x - 1}{2}\right) +\frac{2(x-2)}{x - 1} $$