Étude de la fonction $ f $

1. 1. Étude de la dérivabilité à droite en 0

   • On étudie la limite du taux d'accroissement de la fonction $f$ en $0$ :
     \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{|\ln x|}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{|\ln x|} \]
   • Par conséquent: \[\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = +\infty\]
   • Conclusion : La fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$. Sa courbe représentative admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut à l'origine du repère.

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2. 2. Étude des variations de la fonction $ f $

   • Exprimons $ f(x) $sans valeur absolue: \[ f(x) = x\sqrt{-\ln x} \quad \text{sur } ]0, 1[ \] \[ f(x) = x\sqrt{\ln x} \quad \text{sur } ]1, +\infty[ \]
   • Dérivabilité et calcul de $ f'(x) $ sur $]0, 1[$ :
     La fonction $f$ est dérivable sur $]0, 1[$ comme produit et composée de fonctions dérivables. En utilisant la formule de la dérivée de la composée $ \sqrt{u} $, on a :
     \[ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{-\ln x} + x \cdot \left( \frac{-\frac{1}{x}}{2\sqrt{-\ln x}} \right) = \sqrt{-\ln x} - \frac{1}{2\sqrt{-\ln x}} \] En réduisant au même dénominateur :
     \[ f'(x) = \frac{-2\ln x - 1}{2\sqrt{-\ln x}} \] Le signe de $ f'(x) $ sur $]0, 1[$ dépend du signe de $-2\ln x - 1$ :
     \[ -2\ln x - 1 \ge 0 \iff \ln x \le -\frac{1}{2} \iff x \le e^{-1/2} \] Ainsi:
     • $ f'(x) > 0 $ sur $ ]0, e^{-1/2}[ $
     • $f'(x) = 0$ pour $ x = e^{-1/2} $
     • $f'(x) < 0$ sur $]e^{-1/2}, 1[$. L'extremum local vaut $f(e^{-1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2e}}$.
     
     
     • Dérivabilité et calcul de $ f'(x) $ sur $]1, +\infty[$ :
       De même, $f$ est dérivable sur $]1, +\infty[$.
       \[ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{\ln x} + x \cdot \left( \frac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln x}} \right) = \sqrt{\ln x} + \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} = \frac{2\ln x + 1}{2\sqrt{\ln x}} \] Pour tout $ x > 1 $, $ \ln x > 0 $, donc $ f'(x) > 0 $. La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
     
     
     • Pour étudier la dérivabilité de $f$ en $1$, on examine la limite du taux d'accroissement :
       \[ \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{x\sqrt{|\ln x|}}{x - 1} \]
     
     
     • Dérivabilité à droite de 1 ($x \to 1^+$) :
       Posons $x = 1 + u$ avec $u \to 0^+$. Le taux d'accroissement devient :
       \[ \frac{f(1+u) - f(1)}{u} = \frac{(1+u)\sqrt{\ln(1+u)}}{u} = \sqrt{\frac{\ln(1+u)}{u}} \times \frac{1+u}{\sqrt{u}} \] On sait que $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ (limite usuelle).
       On en déduit :
       \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = +\infty \] La fonction $f$ n'est donc pas dérivable à droite en $1$. La courbe admet au point d'abscisse $1$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
     
     
     • Dérivabilité à gauche de 1 ($x \to 1^-$) :
       Posons $x = 1 - u$ avec $u \to 0^+$. Le taux d'accroissement s'écrit :
       \[ \frac{f(1-u) - f(1)}{-u} = \frac{(1-u)\sqrt{-\ln(1-u)}}{-u} = \sqrt{\frac{\ln(1-u)}{-u}} \times \frac{u-1}{\sqrt{u}} \] Comme $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1-u)}{-u} = 1$ , on en déduit :
       \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = -\infty \] La fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $1$. La courbe admet à gauche de $1$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
     
     
     • Conclusion :
       Le point de coordonnées $(1, 0)$ est un point de rebroussement pour la courbe représentative.
     
     

     Tableau de variations

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   • 3. Tracé de la courbe représentative

     • La courbe passe par l'origine $(0,0)$ avec une tangente verticale.
     • Elle admet un maximum local au point de coordonnées $(e^{-1/2}, \frac{1}{\sqrt{2e}})$.
     • Elle coupe l'axe des abscisses au point $(1,0)$ où elle présente une deuxième tangente verticale (point de rebroussement partiel ou inflexion brutale de la pente).
     • En $ +\infty $, on observe une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   • Courbe $\mathcal C_f$

     Légende:

     $f(x)= x\sqrt{|\log x|}$