1. Calcul de la limite de $f(x)$ en $+\infty$
    1. On pose le changement de variable $t = \frac{1}{x}$. Lorsque $x \to +\infty$, on a $t \to 0^+$.
    2. Évaluons l'expression $f\left(\frac{1}{t}\right)$ en la simplifiant : \[ f(x) = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\ln\left(\frac{1}{t}\right)} = \frac{\ln\left(\frac{t+1}{t}\right)}{-\ln(t)} = \frac{\ln(t+1) - \ln(t)}{-\ln(t)} \]
    3. En séparant la fraction, on fait apparaßtre $f(t)$ : \[ f(x) = -\frac{\ln(t+1)}{\ln(t)} + 1 = 1 - f(t) \]
    4. On calcule la limite de $f(t)$ quand $t \to 0^+$ :
      Puisque $\lim_{t \to 0^+} \ln(1+t) = 0$ et $\lim_{t \to 0^+} \ln(t) = -\infty$,
      Et donc : $~\lim_{t \to 0^+} f(t) = 0$.
    5. Conclusion : Par conséquent, on a directement : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{t \to 0^+} (1 - f(t)) = 1 - 0 = 1 \]

  2. Calcul de la limite de $x\varphi(x)$ en $+\infty$
    1. On exploite la relation trouvée précédemment :
      On a: $\varphi(x) = f(x) - 1$.
    2. En remplaçant $x$ par $\frac{1}{t}$, on obtient une simplification radicale : \[ \varphi(x) = f(x) - 1 = (1 - f(t)) - 1 = -f(t) \]
    3. On en déduit l'expression de $x\varphi(x)$ en fonction de $t$ : \[ x\varphi(x) = \frac{1}{t} \varphi(x) = -\frac{f(t)}{t} = -\frac{\ln(1+t)}{t\ln(t)} \]
    4. On sépare l'expression pour faire apparaßtre la limite de référence du taux d'accroissement : \[ x\varphi(x) = -\frac{\ln(1+t)}{t} \times \frac{1}{\ln(t)} \]
    5. On sait que $\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$ et $\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{\ln(t)} = 0$.
    6. Conclusion : Par produit des limites, on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} x\varphi(x) = -1 \times 0 = 0 \]

  3. DĂ©duction de la limite de $g(x)$ en $+\infty$
    1. Il est clair que: \[ g(x) = x \ln(f(x))=x\ln(1+\varphi(x))\] On multiplie et on divise par $\varphi(x)$ pour forcer l'apparition d'une limite connue : \[ g(x) = x\varphi(x) \times \frac{\ln(1 + \varphi(x))}{\varphi(x)} \]
    2. Puisque $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$, on a $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = 0$.
    3. En utilisant la limite de référence en zéro $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$, le second facteur tend vers $1$.
    4. D'aprÚs la question précédente, le premier facteur $x\varphi(x)$ tend vers $0$.
    5. Conclusion : Par produit ($0 \times 1$), on conclut élégamment que : \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \]