Correction : Calcul de limites par le nombre dérivé et changement de variable

1. Calcul de la limite par le taux d'accroissement

   • Considérons la fonction $g$ définie au voisinage de $1$ par : \[ g(t) = \ln(2t\sqrt[3]{t} - 1) \]
   • Pour faciliter la dérivation, exprimons l'argument du logarithme sous forme de puissance rationnelle : \[ g(t) = \ln(2t \cdot t^{\frac{1}{3}} - 1) = \ln(2t^{\frac{4}{3}} - 1) \]
   • Calculons l'image de $1$ par la fonction $g$ : \[ g(1) = \ln\left(2(1)^{\frac{4}{3}} - 1\right) = \ln(2 - 1) = \ln(1) = 0 \]
   • La limite cherchée correspond exactement à la définition du nombre dérivé de la fonction $g$ en $t = 1$ (la limite de son taux d'accroissement) : \[ \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{g(t) - g(1)}{t - 1} = g'(1) \]
   • La fonction $g$ est de la forme $\ln(u)$ dont la dérivée est $\frac{u'}{u}$. Dérivons $g$ pour tout $t > 0$ : \[ g'(t) = \frac{2 \times \frac{4}{3} t^{\frac{4}{3} - 1}}{2t^{\frac{4}{3}} - 1} = \frac{\frac{8}{3} t^{\frac{1}{3}}}{2t^{\frac{4}{3}} - 1} \]
   • Il ne reste plus qu'à évaluer cette dérivée en $t = 1$ : \[ g'(1) = \frac{\frac{8}{3} (1)^{\frac{1}{3}}}{2(1)^{\frac{4}{3}} - 1} = \frac{\frac{8}{3}}{1} = \frac{8}{3} \]
   • Conclusion : \[ \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} = \frac{8}{3} \]



2. Déduction par changement de variable

   • Posons le changement de variable suivant : $t = \tan x$.
   • Lorsque $x$ tend vers $\frac{\pi}{4}$, la variable $t$ tend vers $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
   • En substituant $\tan x$ par $t$ dans l'expression initiale, la limite se ramène exactement à celle étudiée à la question précédente : \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(2 \tan x \sqrt[3]{\tan x} - 1)}{\tan x - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} \]
   • Conclusion : D'après le résultat obtenu à la première question, on en déduit immédiatement que : \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(2 \tan x \sqrt[3]{\tan x} - 1)}{\tan x - 1} = \frac{8}{3} \]