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Symétrie de la fonction : $f(1-x) = f(x)$
- Premier cas : Pour $x \in ]0; 1[$, on a bien $(1-x) \in ]0; 1[$. En remplaçant $x$ par $(1-x)$ dans l'expression de la fonction : $$ f(1-x) = \ln(1-x) \cdot \ln(1-(1-x)) = \ln(1-x) \cdot \ln(x) = f(x) $$
- DeuxiĂšme cas : Pour les bornes $x = 0$ et $x = 1$ :
Si $x = 0$, on a: \[f(1-0) = f(1) = 0=f(0)\]
Si $x = 1$, on a: \[f(1-1) = f(0)=0 =f(1)\] - Conclusion : Pour tout $x \in [0; 1]$, l'égalité $f(1-x) = f(x)$ est vraie.
La courbe admet la droite d'équation $x = \dfrac{1}{2}$ comme axe de symétrie.
- Ătudions la limite de $f(x)$ quand $x \to 0^+$. On est en prĂ©sence d'une forme indĂ©terminĂ©e du type "$-\infty \times 0$".
- Pour lever l'indétermination avec les outils du programme, on multiplie et on divise par $x$ (pour $x \neq 0$) afin de faire apparaßtre les limites de référence : $$ f(x) = \ln(x) \cdot \ln(1-x) = x \ln(x) \cdot \frac{\ln(1-x)}{x} $$
- D'une part, le théorÚme des croissances comparées donne : $$ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 $$
- D'autre part, en utilisant la limite de référence (issue du nombre dérivé de la fonction $x \mapsto \ln(1-x)$ en $0$) : $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = -1 $$
- Par produit des limites, on obtient : $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \times (-1) = 0 $$
- Puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, la fonction $f$ est bien continue Ă droite en $0$.
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Continuité à gauche en $1$ par déduction
- On cherche la limite de $f(x)$ quand $x \to 1^-$.
- Effectuons le changement de variable $t = 1 - x$. Quand $x \to 1^-$, on a $t \to 0^+$.
- D'aprÚs le résultat de la question 1, on sait que $f(x) = f(1-x) = f(t)$.
- On peut donc Ă©crire : $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{t \to 0^+} f(t) $$
- D'aprÚs la question 2, on a démontré que $\lim_{t \to 0^+} f(t) = 0$.
- On obtient donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 = f(1)$.
- Conclusion : La fonction $f$ est bien continue Ă gauche en $1$.