1. Calcul des limites en $0^+$ et $0^-$
    • En remplaçant directement $x$ par 0, on obtient une forme indĂ©terminĂ©e du type $\dfrac{0}{0}$.
    • Pour lever cette indĂ©termination, on fait appel Ă  la limite de rĂ©fĂ©rence $\lim_{X \to 0} \dfrac{\ln(1+X)}{X} = 1$.
    • Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, on transforme l'expression en forçant l'apparition de $x^2$ sous la racine : \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 \dfrac{\ln(x^2+1)}{x^2}}}{x} = \dfrac{\sqrt{x^2} \sqrt{\dfrac{\ln(x^2+1)}{x^2}}}{x} \]
    • Rappel fondamental : $\sqrt{x^2} = |x|$.
      L'expression devient donc : \[ f(x) = \dfrac{|x|}{x} \sqrt{\dfrac{\ln(x^2+1)}{x^2}} \]

    • Limite Ă  droite ($x \to 0^+$) :
      Si $x > 0$, alors $|x| = x$, ce qui donne le quotient $\dfrac{|x|}{x} = 1$.
      sachant que $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x^2+1)}{x^2} = 1$, \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \times \sqrt 1 = 1 \]

    • Limite Ă  gauche ($x \to 0^-$) :
      Si $x < 0$, alors $|x| = -x$, ce qui donne le quotient $\dfrac{|x|}{x} = -1$.
      Le terme sous la racine tendant toujours vers 1, on obtient par produit : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \times 1 = -1 \]

  2. Étude du prolongement par continuitĂ© en 0
    • Pour que la fonction $f$ admette un prolongement par continuitĂ© en $0$, il est impĂ©ratif qu'elle admette une limite finie et unique en ce point.
    • D'aprĂšs les calculs prĂ©cĂ©dents, les limites Ă  gauche et Ă  droite existent mais sont distinctes : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x) \quad (1 \neq -1) \]
    • Conclusion : La fonction $f$ n'admet pas de limite en 0.
      Par conséquent, elle n'est pas prolongeable par continuité en ce point.