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Étude de la limite $\lim\limits_{x\to +\infty}{x^n \log(x)}$ selon $n \in \mathbb{Z}$
- Si $n > 0$ : On a $\lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} \log(x) = +\infty$. Par produit des limites : \[ \lim_{x\to +\infty}{x^n \log(x)} = +\infty \]
- Si $n = 0$ : L'expression se réduit à $\log(x)$. On a usuellement : \[ \lim_{x\to +\infty}{\log(x)} = +\infty \]
- Si $n < 0$ : Posons $k = -n$, de sorte que $k > 0$. L'expression devient $\dfrac{\log(x)}{x^k}$. D'après les théorèmes de croissances comparées en $+\infty$ : \[ \lim_{x\to +\infty}{\dfrac{\log(x)}{x^k}} = 0 \quad \text{donc} \quad \lim_{x\to +\infty}{x^n \log(x)} = 0 \]
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Signe et comparaison des degrés $p$ et $q$
- Par hypothèse, $(\forall x>0), \log(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- On sait que $\lim_{x\to +\infty} \log(x) = +\infty$.
- Or, la limite d'une fraction rationnelle en l'infini est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré : \[ \lim_{x\to +\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{a_p x^p}{b_q x^q} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{a_p}{b_q} x^{p-q} \]
- Pour que cette limite soit égale à $+\infty$, il est impératif que l'exposant de $x$ soit strictement positif, d'où $p - q > 0 \implies p > q$.
- De plus, la limite pointant vers $+\infty$, le coefficient multiplicateur doit être strictement positif, d'où $\dfrac{a_p}{b_q} > 0$. Par la règle des signes, on en déduit que $a_p b_q > 0$.
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Démonstration de la limite du quotient
- En factorisant $P(x)$ et $Q(x)$ par leurs monômes de plus haut degré respectifs, on peut écrire pour $x$ assez grand : \[ \log(x) = \dfrac{a_p x^p \left(1 + \varepsilon_1(x)\right)}{b_q x^q \left(1 + \varepsilon_2(x)\right)} \] où $\lim_{x\to +\infty} \varepsilon_1(x) = 0$ et $\lim_{x\to +\infty} \varepsilon_2(x) = 0$.
- En isolant les termes, on obtient : \[ \log(x) = \dfrac{a_p}{b_q} x^{p-q} \left( \dfrac{1 + \varepsilon_1(x)}{1 + \varepsilon_2(x)} \right) \]
- En multipliant les deux membres par $\dfrac{b_q}{a_p} x^{q-p}$, on isole le quotient : \[ \left(\dfrac{b_q}{a_p}\right) x^{q-p} \log(x) = \dfrac{1 + \varepsilon_1(x)}{1 + \varepsilon_2(x)} \]
- En passant à la limite quand $x \to +\infty$, le membre de droite tend vers $\dfrac{1+0}{1+0} = 1$. D'où : \[ \lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{b_q}{a_p}\right) x^{q-p} \log(x) = 1 \]
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Conclusion et preuve par l'absurde
- À partir du résultat de la question 3, on peut écrire : \[ \lim_{x\to +\infty} x^{q-p} \log(x) = \dfrac{a_p}{b_q} \]
- Posons l'entier relatif $n = q - p$. Puisque $p > q$ (question 2), on a $n < 0$.
- D'après la question 1, pour tout entier $n < 0$, on a $\lim_{x\to +\infty} x^n \log(x) = 0$.
- On aboutit donc à l'égalité : $0 = \dfrac{a_p}{b_q}$.
- Ceci implique que $a_p = 0$. Or, $a_p$ est défini comme le coefficient du monôme de plus haut degré de $P$, ce qui exige $a_p \neq 0$.
- C'est une contradiction. Notre supposition initiale est donc fausse : la fonction logarithme ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction rationnelle.