Correction : Étude d'une fonction logarithmique et irrationnelle

1. 1. Domaine de définition $ D_f $

   La fonction $ f $ est définie si et seulement si les deux conditions suivantes sont simultanément vérifiées :
   • $ x > 0 $ (pour que l'argument du logarithme népérien soit strictement positif)
   • $ 2 - \ln^2(x) > 0 $ (pour que le radicande au dénominateur soit strictement positif)
   
   Résolvons l'inéquation $ 2 - \ln^2(x) > 0 $ : \[ \ln^2(x) < 2 \] \[ -\sqrt{2} < \ln(x) < \sqrt{2} \] La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $ \mathbb{R} $, on en déduit : \[ e^{-\sqrt{2}} < x < e^{\sqrt{2}} \]
   L'intersection de cet intervalle avec la première condition ($ x > 0 $) nous donne le domaine de définition : \[ D_f = \left] e^{-\sqrt{2}}, e^{\sqrt{2}} \right[ \]



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2. 2. Calcul de la fonction dérivée $ f'(x) $ et étude des variations

   La fonction $ f $ est dérivable sur $ D_f $ en tant que quotient de fonctions dérivables. Posons $ u(x) = x $ et $ v(x) = \sqrt{2 - \ln^2(x)} $.
   
   Pour calculer $ v'(x) $, on utilise rigoureusement la formule de la dérivée de la composée : $ (\sqrt{w})' = \frac{w'}{2\sqrt{w}} $ avec $ w(x) = 2 - \ln^2(x) $. \[ w'(x) = -2 \ln(x) \times \frac{1}{x} = -\frac{2\ln(x)}{x} \] On obtient alors : \[ v'(x) = \frac{-\frac{2\ln(x)}{x}}{2\sqrt{2 - \ln^2(x)}} = -\frac{\ln(x)}{x\sqrt{2 - \ln^2(x)}} \]
   Appliquons maintenant la formule de dérivation d'un quotient $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ : \[ f'(x) = \frac{1 \times \sqrt{2 - \ln^2(x)} - x \times \left( -\frac{\ln(x)}{x\sqrt{2 - \ln^2(x)}} \right)}{2 - \ln^2(x)} \] \[ f'(x) = \frac{\sqrt{2 - \ln^2(x)} + \frac{\ln(x)}{\sqrt{2 - \ln^2(x)}}}{2 - \ln^2(x)} \]
   En réduisant le numérateur au même dénominateur pour simplifier l'expression : \[ f'(x) = \frac{\frac{2 - \ln^2(x) + \ln(x)}{\sqrt{2 - \ln^2(x)}}}{2 - \ln^2(x)} \] \[ f'(x) = \frac{-\ln^2(x) + \ln(x) + 2}{(2 - \ln^2(x))\sqrt{2 - \ln^2(x)}} \]
   Étude du signe de $ f'(x) $ :
   Pour tout $ x \in D_f $, le dénominateur $ (2 - \ln^2(x))\sqrt{2 - \ln^2(x)} $ est strictement positif. Le signe de la dérivée $ f'(x) $ est donc exactement celui de son numérateur, qui est un trinôme en $ \ln(x) $ : $ -\ln^2(x) + \ln(x) + 2 $.
   
   Posons le changement de variable $ X = \ln(x) $. Les racines de l'équation $ -X^2 + X + 2 = 0 $ sont $ X_1 = -1 $ et $ X_2 = 2 $. Le trinôme du second degré est positif à l'intérieur de ses racines, donc pour $ X \in [-1, 2] $, ce qui équivaut à : \[ -1 \le \ln(x) \le 2 \iff e^{-1} \le x \le e^2 \]
   Il faut croiser ce résultat avec le domaine d'étude $ D_f = \left] e^{-\sqrt{2}}, e^{\sqrt{2}} \right[ $. Sachant que $ \sqrt{2} \approx 1,414 $, on a $ e^{\sqrt{2}} < e^2 $ et $ e^{-\sqrt{2}} < e^{-1} $. La seule racine appartenant à $ D_f $ est donc $ e^{-1} $.
   
   Nous pouvons dresser le bilan des signes sur $ D_f $ :
   • Pour $ x \in \left] e^{-\sqrt{2}}, e^{-1} \right[ $ : $ f'(x) < 0 $
   • Pour $ x = e^{-1} $ : $ f'(x) = 0 $
   • Pour $ x \in \left] e^{-1}, e^{\sqrt{2}} \right[ $ : $ f'(x) > 0 $
   
   Conclusion sur les variations de $ f $ :
   • La fonction $ f $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left] e^{-\sqrt{2}}, e^{-1} \right] $.
   • La fonction $ f $ est strictement croissante sur l'intervalle $ \left[ e^{-1}, e^{\sqrt{2}} \right[ $.
   • La fonction admet un minimum en $ x = e^{-1} $, dont la valeur est $ f(e^{-1}) = \frac{e^{-1}}{\sqrt{2 - (-1)^2}} = \frac{1}{e} $.
   • Tableau de variation de $f$:
     
     1. Tableau de variations de $ f $ :
        
     2. Courbe représentative: