1. 1. Démonstration de l'expression de $ u_n $
    Soit $n \ge 2$. Transformons l'expression à l'intérieur du logarithme : \[ 1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{k-1}{k} \times \frac{k+1}{k} \]
    En utilisant les propriétés algébriques du logarithme népérien, on obtient : \[ \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \ln\left(\frac{k-1}{k}\right) + \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \]
    On peut ainsi scinder la somme $u_n$ en deux sommes distinctes : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{k-1}{k}\right) + \sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \]
    Il s'agit de deux sommes télescopiques. Détaillons les simplifications :
    • Pour la première somme : \[ \sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{k-1}{k}\right) = \sum_{k=2}^{n} (\ln(k-1) - \ln(k)) = \ln(1) - \ln(n) = -\ln(n) \]
    • Pour la deuxième somme : \[ \sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \sum_{k=2}^{n} (\ln(k+1) - \ln(k)) = \ln(n+1) - \ln(2) \]

    En regroupant les deux résultats, on trouve : \[ u_n = -\ln(n) + \ln(n+1) - \ln(2) \] \[ u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) - \ln(2) \] \[ u_n = \ln\left(\frac{n+1}{2n}\right) \] Ce qui achève la démonstration.


  2. 2. Détermination de la limite de la suite $ (u_n)_{n \ge 2} $
    Déterminons d'abord la limite de la fraction rationnelle lorsque $n$ tend vers $+\infty$ : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} \]
    La fonction logarithme népérien $x \longmapsto \ln(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$. Par composition des limites, on en déduit que : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \] La suite $(u_n)_{n \ge 2}$ converge donc vers $-\ln(2)$.