1. Variations de $f$
    • $f'(x) = \frac{1}{x \ln x}$. Comme $x > 1$, $x$ et $\ln x$ sont positifs, donc $f'(x) > 0$.
    • La fonction $f$ est strictement croissante sur $]1; +\infty[$.
  2. Inégalité sur $f(k+1)-f(k)$
    • Par le TAF sur $[k, k+1]$, $f(k+1)-f(k) = f'(c)$ avec $c \in ]k, k+1[$.
    • La fonction $f'$ est dĂ©croissante, donc $f'(c) \le f'(k) = \frac{1}{k \ln k}$.
    • D'oĂč $0 \le f(k+1) - f(k) \le \frac{1}{k \ln k}$.
  3. Limite de $S_n$
    • Par sommation : $S_n \ge \sum_{k=2}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(2)$.
    • $S_n \ge \ln(\ln(n+1)) - \ln(\ln 2)$.
    • Comme $\lim_{n \to +\infty} \ln(\ln(n+1)) = +\infty$, on en dĂ©duit que $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.