1. Convexité de $f$
    • $f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}$ et $f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$.
    • Si $\alpha \geq 1$, alors $f''(x) \geq 0$ car $(1+x) > 0$.
      $f$ est donc convexe sur $]-1, +\infty[$.
  2. Tangente en $x=0$
    • $f(0) = 1$ et $f'(0) = \alpha$.
    • L'Ă©quation de la tangente $(T)$ est $y = \alpha x + 1$.
  3. Inégalité de Bernoulli
    • Par convexitĂ©, la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente $(T)$.
    • On en dĂ©duit : $(1+x)^\alpha \geq 1 + \alpha x$.
  4. Cas $\alpha \in ]0, 1[$
    • Si $0 < \alpha < 1$, $f''(x) \leq 0$. $f$ est concave.
    • La courbe est en dessous de la tangente : $(1+x)^\alpha \leq 1 + \alpha x$.