1. Inégalité de Jensen
    • La fonction $\ln$ est concave sur $]0, +\infty[$ car $f''(x) = -1/x^2 < 0$.
    • D'après l'inégalité de concavité : $\ln(\frac{1}{n}\sum x_i) \geq \frac{1}{n}\sum \ln(x_i)$.
  2. Inégalité d'Young
    • Avec $\lambda_1 = 1/p$ et $\lambda_2 = 1/q$ tel que $\lambda_1+\lambda_2 = 1$ :
    • $\ln(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q) \geq \frac{1}{p}\ln(a^p) + \frac{1}{q}\ln(b^q) = \ln(ab)$.
    • Par croissance de la fonction logarithme, on obtient : \[ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\]
  3. Inégalité IAG
    • $\ln(\text{Moyenne Arithmétique}) \geq \ln(\text{Moyenne Géométrique})$.
    • Par croissance de la fonction logarithme, on obtient : \[\sqrt[n]{\prod x_i} \leq \frac{1}{n}\sum x_i\].
  4. Application
    • Pour $x \in ]0, 1[$, $\sqrt{x(1-x)} \leq \frac{x+1-x}{2} = \frac{1}{2}$.
    • D'où $x(1-x) \leq 1/4$.