1. Inégalité $MG \leq MA$ via la concavité
    • La fonction $x \mapsto \ln(x)$ est concave sur $]0 ; +\infty[$ car sa dĂ©rivĂ©e seconde $f''(x) = -1/x^2$ est nĂ©gative.
    • D'aprĂšs l'inĂ©galitĂ© de convexitĂ© (avec $\lambda = 1/2$) : $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \geq \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}$.
    • D'oĂč $\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \geq \ln(\sqrt{ab})$.
    • Par croissance de la fonction log, on obtient : \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\]
  2. Inégalité $MH \leq MG$
    • En appliquant le rĂ©sultat prĂ©cĂ©dent Ă  $1/a$ et $1/b$, on a: \[\sqrt{\frac{1}{ab}} \leq \frac{1/a + 1/b}{2}\]
    • En prenant l'inverse : \[\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}\]
  3. Moyennes Harmonique, Géométrique et Arithmétique
    • On en conclut que : \[MH \leq MG \leq MA\].