Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose $A = \ln a$, $B = \ln b$ et $C = \ln c$.

1. Calcul de $X$

   • On utilise les propriétés $\ln(uv) = \ln u + \ln v$ et $\ln(u^n) = n\ln u$.
   • $X = \ln(a^8) + \ln(b^9) + \ln(c^{-3/2})$
   • $X = 8\ln a + 9\ln b - \frac{3}{2}\ln c$
   • D'où : $X = 8A + 9B - \frac{3}{2}C$



2. Calcul de $Y$

   • On utilise $\ln(u/v) = \ln u - \ln v$.
   • $Y = (\ln a - \ln b^7) + (\ln a^{-1} - \ln c^3)$
   • $Y = (A - 7B) + (-A - 3C)$
   • En simplifiant par $A$ : $Y = -7B - 3C$



3. Calcul de $Z$

   • On rappelle que $\sqrt{u} = u^{1/2}$ et $\sqrt[n]{u} = u^{1/n}$.
   • $Z = \ln((abc)^{1/2}) + \ln(a^{1/5}) + \ln(b^{1/4})$
   • $Z = \frac{1}{2}(A + B + C) + \frac{1}{5}A + \frac{1}{4}B$
   • En regroupant : $Z = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5})A + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})B + \frac{1}{2}C$
   • $Z = \frac{7}{10}A + \frac{3}{4}B + \frac{1}{2}C$



4. Calcul de $T$

   • $T = \ln\left((a^{1/2} \cdot b^{-2/3} \cdot c^1 \cdot c^{1/2})^{1/5}\right)$
   • $T = \frac{1}{5} [ \ln(a^{1/2}) + \ln(b^{-2/3}) + \ln(c^{3/2}) ]$
   • $T = \frac{1}{5} [ \frac{1}{2}A - \frac{2}{3}B + \frac{3}{2}C ]$
   • $T = \frac{1}{10}A - \frac{2}{15}B + \frac{3}{10}C$