Correction : Polynésie 1999 - Bac S

Partie A

1. 1. • On cherche la limite de $ f $ en $ -\infty $.
      • On a $ \lim_{x \to -\infty} x = -\infty $ et $ \lim_{x \to -\infty} (2x - 2) = -\infty $.
      • Par composition de limites, $ \lim_{X \to -\infty} e^X = 0 $, donc $ \lim_{x \to -\infty} e^{2x-2} = 0 $.
      • Par somme, on en déduit que : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \]
   2. • Pour tout réel $ x \neq 0 $, factorisons l'expression de $ f(x) $ par $ x $ : \[ f(x) = x \left(1 - \frac{e^{2x-2}}{x}\right) = x \left(1 - \frac{e^{2x} \cdot e^{-2}}{x}\right) = x \left[1 - 2e^{-2} \times \left(\frac{e^{2x}}{2x}\right)\right] \]
      • Cherchons la limite en $ +\infty $. Posons $ X = 2x $. Lorsque $ x \to +\infty $, $ X \to +\infty $.
      • On sait par croissances comparées que $ \lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X} = +\infty $, d'où $ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{2x} = +\infty $.
      • Comme $ 2e^{-2} > 0 $, on a $ \lim_{x \to +\infty} 2e^{-2} \times \left(\frac{e^{2x}}{2x}\right) = +\infty $.
      • Par conséquent, $ \lim_{x \to +\infty} \left[1 - 2e^{-2} \times \left(\frac{e^{2x}}{2x}\right)\right] = -\infty $.
      • Comme $ \lim_{x \to +\infty} x = +\infty $, par produit des limites on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \]
2. • La fonction $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme somme et composée de fonctions dérivables.
   • Pour tout réel $ x $, $ f'(x) = 1 - 2e^{2x-2} $.
   • Étude du signe de $ f'(x) $ : \[ f'(x) > 0 \iff 1 - 2e^{2x-2} > 0 \iff e^{2x-2} < \frac{1}{2} \] \[ \iff 2x - 2 < \ln\left(\frac{1}{2}\right) \iff 2x < 2 - \ln(2) \iff x < 1 - \frac{\ln(2)}{2} \]
   • Ainsi, $ f'(x) > 0 $ sur $ \left]-\infty ; 1 - \frac{\ln(2)}{2}\right[ $, $ f'(x) < 0 $ sur $ \left]1 - \frac{\ln(2)}{2} ; +\infty\right[ $ et $ f'(x) = 0 $ pour $ x_0 = 1 - \frac{\ln(2)}{2} $.
   • La fonction $ f $ admet donc un maximum global en $ x_0 $. Calculons ce maximum : \begin{align*} f\left(1 - \frac{\ln(2)}{2}\right) &= 1 - \frac{\ln(2)}{2} - e^{2\left(1 - \frac{\ln(2)}{2}\right)-2}\\ & = 1 - \frac{\ln(2)}{2} - e^{-\ln(2)} \\ &= 1 - \frac{\ln(2)}{2} - \frac{1}{2} \\ f\left(1 - \frac{\ln(2)}{2}\right) &= \frac{1}{2} - \frac{\ln(2)}{2} \end{align*}
3. • Pour étudier l'asymptote, on forme la différence : $ f(x) - x = -e^{2x-2} $.
   • On a $ \lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} -e^{2x-2} = 0 $.
   • La droite $ (D) $ d'équation $ y = x $ est donc asymptote à la courbe $ (C) $ en $ -\infty $.
   • Pour la position relative, on étudie le signe de la différence : pour tout réel $ x $, $ -e^{2x-2} < 0 $.
   • La courbe $ (C) $ est donc strictement en dessous de l'asymptote $ (D) $ sur $ \mathbb{R} $.
4. • L'abscisse du point $ A $ est $ 1 $. Son ordonnée est $ f(1) = 1 - e^{2(1)-2} = 1 - e^0 = 0 $. Donc $ A(1 ; 0) $.
   • Le coefficient directeur de la tangente est $ f'(1) = 1 - 2e^{2(1)-2} = 1 - 2 = -1 $.
   • L'équation de la tangente $ (T) $ est : \[ y-1 = f'(1)(x - 1) + f(1) \] Soit: \[ y = -x + 1 \]
5. 1. • Sur l'intervalle $ I = [0 ; 0,5] $, on a: \[ 1 - \frac{\ln(2)}{2}> 1 - \frac{\ln(e)}{2}=0.5\] La fonction $ f $ est donc continue et strictement croissante sur $ I $.
      • On a $ f(0) = -e^{-2} < 0 $ et $ f(0,5) = 0,5 - e^{-1} > 0 $.
      • D'après le théorème des valeurs intermédiares, l'équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $\alpha $ dans l'intervalle $ I $.
   
   
   2. • valeurs approchée de $\alpha$ :
        $ f(0,2) \approx -0,0019 < 0 $ et $ f(0,3) \approx 0,053 > 0 $.
      • Ainsi, $ 0,2 < \alpha < 0,3 $. Une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{-1} $ près est $ 0,2 $.
6. Courbe $~\mathcal C_f$

   Légende:

   $f(x) = x-e^{2x-2}$

   $y = x$

Partie B : Détermination d'une valeur approchée de $ \alpha $

1. • L'équation $ f(x) = 0 $ équivaut à $ x - e^{2x-2} = 0 \iff x = e^{2x-2} \iff x = g(x) $.
   • Comme $ \alpha $ est par définition l'unique solution de $ f(x) = 0 $ sur $ I $, on en déduit que $ g(\alpha) = \alpha $.
2. • La fonction $ g $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $ g'(x) = 2e^{2x-2} $.
   • Pour tout $ x \in I = [0 ; 0,5] $, on a : \[ 0 \le x \le 0,5 \implies -2 \le 2x - 2 \le -1 \implies e^{-2} \le e^{2x-2} \le e^{-1} \]
   • En multipliant par 2, on obtient $ 2e^{-2} \le g'(x) \le 2e^{-1} $, ce qui donne $ g'(x) \le \frac{2}{e} $.
   • Puisque $ g'(x) > 0 $, on a bien l'encadrement $ |g'(x)| \le \frac{2}{e} $ pour tout $ x \in I $.
3. • La fonction $ g $ est strictement croissante sur $ I $ car sa dérivée y est strictement positive.
   • Pour $ x \in [0 ; 0,5] $, on a $ g(0) \le g(x) \le g(0,5) $.
   • Or $ g(0) = e^{-2} \ge 0 $ et $ g(0,5) = e^{-1} \le 0,5 $.
   • On a donc $ 0 \le g(x) \le 0,5 $, ce qui prouve que $ g(x) \in I $.
4. • On établit d'abord rapidement que pour tout $ n $, $ u_n \in I $. (Vrai au rang 0 car $ u_0 = 0 \in I $, et l'hérédité découle de la question précédente : $ u_n \in I \implies g(u_n) \in I \implies u_{n+1} \in I $).
   • La fonction $ g $ est dérivable sur l'intervalle $ I $ et $ |g'(x)| \le \frac{2}{e} $ sur cet intervalle. De plus, $ u_n $ et $ \alpha $ appartiennent à $ I $.
   • En appliquant l'inégalité des accroissements finis entre $ u_n $ et $ \alpha $, on obtient : \[ |g(u_n) - g(\alpha)| \le \frac{2}{e} |u_n - \alpha| \]
   • Comme $ g(u_n) = u_{n+1} $ et $ g(\alpha) = \alpha $, on conclut : \[ |u_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{e} |u_n - \alpha| \]
5. • Initialisation : Pour $ n = 0 $, $ |u_0 - \alpha| = |- \alpha| = \alpha $. Comme $ \alpha \in [0 ; 0,5] $, on a $ \alpha \le 1 = \left(\frac{2}{e}\right)^0 $. La propriété est vraie.
   • Hérédité : Supposons que pour un entier naturel $ n $, $ |u_n - \alpha| \le \left(\frac{2}{e}\right)^n $.
   • D'après la question 4, $ |u_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{e} |u_n - \alpha| \le \frac{2}{e} \left(\frac{2}{e}\right)^n = \left(\frac{2}{e}\right)^{n+1} $. L'hérédité est validée.
   • Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $ n $, $ |u_n - \alpha| \le \left(\frac{2}{e}\right)^n $.
6. • Comme $ e > 2 $, on a $ 0 < \frac{2}{e} < 1 $. et donc: $lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{e}\right)^n = 0 $.
   • $ \lim_{n \to +\infty} |u_n - \alpha| = 0 $ (Théorème d'encadrement.)
   • La suite $ (u_n) $ est donc convergente, et a pour limite, $ \alpha $.
7. • On cherche un entier $ p $ tel que $ \left(\frac{2}{e}\right)^p < 10^{-5} $.
   • Par stricte croissance du logarithme népérien : \[ p \ln\left(\frac{2}{e}\right) < -5 \ln(10) \iff p(\ln(2) - 1) < -5 \ln(10) \]
   • Comme $ \ln(2) - 1 < 0 $, on change le sens de l'inégalité : $ p > \frac{-5 \ln(10)}{\ln(2) - 1} $.
   • Le calcul donne $ \frac{-5 \ln(10)}{\ln(2) - 1} \approx 37,5 $. L'entier naturel $ p = 38 $ convient.
8. • Pour obtenir une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{-5} $ près, on calcule le terme $ u_{38} $.
   • La calculatrice donne $ \alpha \approx 0,20319 $.