1. Continuité de $ f_n $ en 0
    • Pour montrer que $ f_n $ est continue en 0, nous devons vĂ©rifier que $ \lim_{x \to 0} f_n(x) = f_n(0) $.
    • Pour tout $ x \in \mathbb{R}^* $, nous pouvons Ă©crire $ f_n(x) $ sous la forme : \[ f_n(x) = x^{n-1} \times \frac{x}{e^{x}-1} \]
    • Rappelons la limite usuelle du taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0 : \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1 \] Par passage Ă  l'inverse, nous avons donc : \[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} = 1 \]
    • Puisque $ n \ge 3 $, on a $ n-1 \ge 2 $. Ainsi : \[ \lim_{x \to 0} x^{n-1} = 0 \]
    • Par produit des limites, on obtient : \[ \lim_{x \to 0} f_n(x) = 0 \times 1 = 0 \]
    • Comme $ f_n(0) = 0 $, on a bien $ \lim_{x \to 0} f_n(x) = f_n(0) $.
    • Conclusion : La fonction $ f_n $ est continue en 0.

  2. Dérivabilité de $ f_n $ à droite en 0
    • Étudions la limite du taux d'accroissement de $ f_n $ en 0 Ă  droite. Pour $ x > 0 $ : \[ \frac{f_n(x) - f_n(0)}{x - 0} = \frac{\frac{x^n}{e^x - 1}}{x} = \frac{x^n}{x(e^x - 1)} = \frac{x^{n-1}}{e^x - 1} \]
    • Nous pouvons rĂ©Ă©crire cette expression en isolant de nouveau la limite usuelle : \[ \frac{f_n(x) - f_n(0)}{x} = x^{n-2} \times \frac{x}{e^x - 1} \]
    • Comme $ n \ge 3 $, on a $ n-2 \ge 1 $. Par consĂ©quent : \[ \lim_{x \to 0^+} x^{n-2} = 0 \]
    • En utilisant la limite Ă©tablie prĂ©cĂ©demment ($ \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $), on obtient par produit : \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x) - f_n(0)}{x} = 0 \times 1 = 0 \]
    • Conclusion : La fonction $ f_n $ est dĂ©rivable Ă  droite en 0 et le nombre dĂ©rivĂ© Ă  droite est $ f_{n,d}'(0) = 0 $.

  3. Limite de $ f_n $ en $ +\infty $
    • On cherche Ă  calculer : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x - 1} \]
    • Factorisons par $ e^x $ au dĂ©nominateur : \[ f_n(x) = \frac{x^n}{e^x(1 - e^{-x})} = \frac{x^n}{e^x} \times \frac{1}{1 - e^{-x}} \]
    • D'aprĂšs le thĂ©orĂšme des croissances comparĂ©es Ă  l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $ x $ : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \]
    • De plus, comme $ \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, on a : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 - e^{-x}} = 1 \]
    • Par produit des limites : \[ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0 \times 1 = 0 \]
    • Conclusion : $ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0 $.