Bac S Liban 2004

1. 1. Étude des limites

   • En $+\infty$ :
     $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x+1} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} (x + \ln 4) = +\infty$,
     on obtient: $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
   • En $-\infty$ :
     On a $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{e^x+1} = 2$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} (x + \ln 4) = -\infty$.
     On obtient: $~\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

2. 2. Centre de symétrie

   Pour tout réel $x$, $f(x) + f(-x) = (x + \ln 4 + \frac{2}{e^x+1}) + (-x + \ln 4 + \frac{2}{e^{-x}+1})$.
   En simplifiant : \[2\ln 4 + \frac{2}{e^x+1} + \frac{2e^x}{1+e^x} = 2\ln 4 + 2\] La relation: $~f(x) + f(-x) = 2(1+\ln 4)~$ prouve que le point $~A(0, 1+\ln 4)~$ est le centre de symétrie de $(C)$.

3. 3. Sens de variations

   La dérivée est $f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}>0$.
   La fonction est donc strictement croissante.

   Tableau de variations:

   
   
   
   

   Courbe représentative de $f$:

   Courbe $\mathcal C$

   Légende:

   $f(x) = x+\log(4)+\dfrac{2}{1+e^x}$

4. 4. Théorème des valeurs intermédiaires

   $f$ est continue et strictement croissante sur $~\mathbb{R}~$ et $~f(\mathbb{R})=\Bbb R$.
   D'après le TVI, l'équation $f(x)=m$ admet une unique solution $\alpha$.
   Pour $f(x)=3$, on trouve par balayage à la calculatrice : $1,1 < \alpha < 1,2$.

5. 5. Asymptotes et positions relatives

   • $(\Delta) : y = x + \ln 4)$ est asymptote car $f(x) - (x+\ln 4) = \frac{2}{e^x+1}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$.
   
   
   • Comme $\frac{2}{e^x+1} > 0$ pour tout $x$, la courbe $(C)$ est toujours au-dessus de $(\Delta)$.
   • En $-\infty$:
     $f(x) = x + 2 + \ln 4 - \frac{2e^x}{e^x+1}$.
     L'écart avec $(\Delta') : y = x + 2 + \ln 4~$ tend vers $~0~$ car $~e^x \to 0~$.

6. 6. Calcul d'aire (Intégrale)

   $I(a) = \int_0^a [f(x) - (x+\ln 4)] dx = \int_0^a \frac{2}{e^x+1} dx$.
   En utilisant la forme $2 - \frac{2e^x}{e^x+1}$, une primitive est $H(x) = 2x - 2\ln(e^x+1)$.
   \[I(a) = [2x - 2\ln(e^x+1)]_0^a = 2a - 2\ln(e^a+1) + 2\ln(2) \] Soit: \[I(a)= 2\ln\left(\frac{2e^a}{e^a+1}\right)\]