Solution de l'exercice

1. Limite de la suite $\frac{x^n}{n!}$

1. 1. Montrons par récurrence que $\frac{k^{n}}{n!} \le \frac{k^{k}}{k!}$ pour $n \ge k$ :
      Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété : « $\frac{k^n}{n!} \le \frac{k^k}{k!}$ ».
      • Initialisation : Pour $n = k$, $\frac{k^k}{k!} \le \frac{k^k}{k!}$ est vrai.
      • Hérédité : Supposons $\mathcal{P}_n$ vraie pour un entier $n \ge k$. Montrons $\mathcal{P}_{n+1}$.
        $\frac{k^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{k^n}{n!} \times \frac{k}{n+1}$.
        Or, par hypothèse de récurrence, $\frac{k^n}{n!} \le \frac{k^k}{k!}$.
        De plus, comme $n \ge k$, alors $n+1 > k$, d'où $\frac{k}{n+1} < 1$.
        Par produit d'inégalités positives : $\frac{k^n}{n!} \times \frac{k}{n+1} \le \frac{k^k}{k!} \times 1$.
        L'hérédité est démontrée.
   2. Déduisons-en la majoration de $\frac{x^n}{n!}$ :
      On peut écrire : \[ \frac{x^n}{n!} = \frac{x^n}{k^n} \times \frac{k^n}{n!} = \left(\frac{x}{k}\right)^n \times \frac{k^n}{n!} \] D'après la question précédente, pour $n \ge k$, $\frac{k^n}{n!} \le \frac{k^k}{k!}$.
      Comme $\left(\frac{x}{k}\right)^n \ge 0$, on obtient : \[ \frac{x^n}{n!} \le \left(\frac{x}{k}\right)^n \times \frac{k^k}{k!} \]
   3. Limite de $\frac{x^n}{n!}$ :
      On sait que $x \ge 0$ et donc $0 \le \frac{x^n}{n!}$.
      D'autre part, comme $k > x$, alors $0 \le \frac{x}{k} < 1$.
      Ainsi, $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{x}{k}\right)^n = 0$.
      Le terme $\frac{k^k}{k!}$ est une constante.
      Par la suite : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \]
   4. Méthode alternative à la récurrence:
      
      • Soit $v_n = \frac{k^n}{n!}$. Étudions son sens de variation pour $n \ge k$ via $\ln(v_n)$.
      • $\ln(v_n) = n \ln k - \sum_{p=1}^{n} \ln p$.
      • Calculons la différence : $\ln(v_{n+1}) - \ln(v_n) = \ln k - \ln(n+1) = \ln\left(\frac{k}{n+1}\right)<0$.
      • La suite $(v_n)$ est donc décroissante pour $n \ge k$.

2. Limite de la suite $\frac{n^n}{n!}$

1. 1. Montrons que $\frac{n^{n-1}}{n!} \ge 1$ pour $n \ge 2$ :
      Développons l'expression : \[ \frac{n^{n-1}}{n!} = \frac{n \times n \times \dots \times n}{n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1} = \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \frac{n}{n-2} \times \dots \times \frac{n}{2} \] Chaque facteur $\frac{n}{i}$ avec $2 \le i \le n$ est supérieur ou égal à 1 (car $n \ge i$).
      Le produit de facteurs tous supérieurs ou égaux à 1 est supérieur ou égal à 1.
   2. Déduisons-en la limite de $\frac{n^n}{n!}$ :
      On remarque que $\frac{n^n}{n!} = n \times \frac{n^{n-1}}{n!}$.
      D'après la question 2.a, $\frac{n^{n-1}}{n!} \ge 1$.
      Donc $\frac{n^n}{n!} \ge n \times 1$.
      Par conséquent: \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n}{n!} = +\infty \]