1. Calcul des premiers termes

1. 1. Montrons que $ u_0 + u_1 = 1 $ :
      Par linéarité de l'intégrale : \[ u_0 + u_1 = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + e^{-x}} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1 + e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx \] D'où : \[ u_0 + u_1 = \int_{0}^{1} 1 \, dx = 1 \]
   2. Calcul de $ u_1 $ et déduction de $ u_0 $ :
      La fonction $x \mapsto \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ est de la forme $-\frac{v'}{v}$ avec $v(x) = 1+e^{-x}$.
      \[ u_1 = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \, dx = [-\ln(1 + e^{-x})]_0^1 \] Soit aprs simplification: \[u_1 = 1 - \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) \] D'après la question précédente : \[ u_0 = 1 - u_1 = \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) \]

2. Positivité de la suite

• Pour tout $ x \in [0, 1] $ et pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on a $ e^{-nx} > 0 $ et $ 1 + e^{-x} > 0 $.
  La fonction $ x \mapsto \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} $ est donc continue et positive sur l'intervalle $[0, 1]$.
  L'intégrale d'une fonction positive étant positive, on en déduit que $ u_n \ge 0 $.

3. Relation de récurrence et majoration

1. 1. Montrons la relation: \[ u_{n+1} + u_n = \frac{1 - e^{-n}}{n}\] Pour $ n \in \mathbb{N}^* $ : \[ u_{n+1} + u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-(n+1)x} + e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}(e^{-x} + 1)}{1 + e^{-x}} \, dx \] En simplifiant par $(1 + e^{-x})$, on obtient : \[ u_{n+1} + u_n = \int_{0}^{1} e^{-nx} \, dx = \left[ \frac{e^{-nx}}{-n} \right]_0^1 = -\frac{1}{n}(e^{-n} - 1) = \frac{1 - e^{-n}}{n} \]
   2. Déduction de la majoration :
      D'après la question 2, on sait que $ u_{n+1} \ge 0 $.
      Comme $ u_n + u_{n+1} = \frac{1 - e^{-n}}{n} $, on a nécessairement : \[ u_n = \frac{1 - e^{-n}}{n} - u_{n+1} \le \frac{1 - e^{-n}}{n} \qquad (1)\] Ceci est vrai pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.