1. Dérivées et sens de variation

• Calcul de $ f' $ et $ f'' $ :
  $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme somme et produit de fonctions dérivables.
  Pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : \[ f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2)e^x + 1\] Soit: \[\boxed{~~f'(x)=(x-1)e^x + 1~~} \] Pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : \[ f''(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x \] Soit: \[\boxed{f''(x)= x e^x} \]
• Sens de variation de $ f' $ :
  Le signe de $ f''(x) $ est celui de $ x $ car $ e^x > 0 $.
  • Sur $ ]-\infty, 0] $, $ f'' \le 0 $, donc $ f' $ est décroissante.
  • Sur $ [0, +\infty[ $, $ f'' \ge 0 $, donc $ f' $ est croissante.
• Signe de $ f' $ :
  $ f' $ admet un minimum en $~x = 0~$ qui vaut $ f'(0) = (0-1)e^0 + 1 = 0 $.
  Le minimum étant nul, on en déduit que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ f'(x) \ge 0 $.
• Variations de $ f $ :
  Comme $ f' \ge 0 $ sur $ \mathbb{R} $ (et ne s'annule qu'en un point isolé), la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.

2. Limites et tableau de variations

• En $ -\infty $ :
  $ \lim_{x \to -\infty} (x-2)e^x = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{(-t-2)}{e^t}=0 $ (en posant $~t=-x$).
  Donc $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $.
• En $ +\infty $ :
  $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $.

3. Asymptotes, tangentes et tracé

1. 1. Asymptote $ (D) $ :
      $ f(x) - x = (x-2)e^x $.
      Or $ \lim_{x \to -\infty} (x-2)e^x = 0 $,
      Donc la droite $ (D) : y = x $ est asymptote à $ (\mathcal{C}) $ en $ -\infty $.
      Intersection : $~f(x) - x = 0 \iff (x-2)e^x = 0 \iff x = 2 $. Le point d'intersection est $ I(2 ; 2) $.
      Position relative : Le signe de $ f(x) - x $ est celui de $ x-2 $.
      • Sur $ ]-\infty, 2[ $, $ (\mathcal{C}) $ est en dessous de $ (D) $.
      • Sur $ ]2, +\infty[ $, $ (\mathcal{C}) $ est au-dessus de $ (D) $.
   2. Tangente $ (T) $ en 0 :
      L'équation est $ y = f'(0)(x-0) + f(0) $.
      $ f'(0) = 0 $ et $ f(0) = (0-2)e^0 + 0 = -2 $.
      La tangente $ (T) $ est la droite horizontale d'équation $ y = -2 $.

      Tableau de Variations Synthétique

      $x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
      $f''(x)$		$-$	$0$	$+$
      Variations de $f'$	$1$
      			$0$ (Min)		$+\infty$
      Variations de $f$	$-\infty$	$f(0) = -2$				$+\infty$


2. Courbe représentative de $f$:
   Courbe C_f

   Légende:

   $f(x) = (x-2)e^x +x$

   $y = x$