Partie A

• 1. Résolution de l'équation $ 2^{\sin^2 x} = \cos(x) $ :
  On observe les bornes des fonctions en présence :
  Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, on a $ 0 \le \sin^2 x \le 1 $, donc $ 2^0 \le 2^{\sin^2 x} \le 2^1 $, soit $ 1 \le 2^{\sin^2 x} \le 2 $.
  D'autre part, pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ \cos(x) \le 1 $.
  L'égalité ne peut donc avoir lieu que si les deux membres sont égaux à 1. \[ \begin{cases} 2^{\sin^2 x} = 1 \\ \cos(x) = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin^2 x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{\pi} \\ x \equiv 0 \pmod{2\pi} \end{cases} \] L'ensemble des solutions est donc : $ S = \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} $.


• 2. Étude de l'équation $ a^{2x} - 3a^x + 1 = 0 $ :
  1. Existence des solutions :
     Simplifions d'abord $ a = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{5-1} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} $.
     Posons $ X = a^x $ (avec $ X > 0 $). L'équation devient: \[ X^2 - 3X + 1 = 0\] Le discriminant est: $ \Delta = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0 $.
     Les racines sont $ X_1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} $ et $ X_2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} $.
     Comme $ X_1 > 0 $ et $ X_2 > 0 $, il existe deux solutions réelles $ \alpha $ et $ \beta $ telles que $ a^\alpha = X_1 $ et $ a^\beta = X_2 $.
  2. Vérification de la relation :
     On remarque que $ X_2 = a $, donc $ a^\beta = a \implies \beta = 1 $.
     De plus d'après les formules de Vite on a: $$ X_1 \times X_2 = 1=a^{\alpha+\beta} $$
     Ainsi, $\alpha + \beta = 0$.
     Avec $ \beta = 1 $, on obtient $ \alpha = -1 $.
     On a bien $ \{ \alpha, \beta \} = \{ -1, 1 \} $.

Partie B

• 1. Vérification pour $ x = 4 $ :
  L'équation $(E)$ équivaut à $ 15 \cdot 4^x + 8 \cdot 6^x = 8(7^x - 5^x) $.
  Pour $ x = 4 $ :
  • LHS : $ 15 \cdot 2^8 + 8 \cdot (2 \cdot 3)^4 = 15 \cdot 2^8 + 2^7 \cdot 3^4 = 2^7(15 \cdot 2 + 81) $
    En factorisant par 3 : $ 2^7 \cdot 3(10 + 27) = 2^7 \cdot 3 \cdot 37 $.
  • RHS : $ 8(7^4 - 5^4) = 8(49-25)(49+25) = 8 \cdot 24 \cdot 74 =2^7 \cdot 3 \cdot 37$
    
  L'égalité est vérifiée, donc 4 est solution.


• 2. Étude de l'unicité :
  Divisons l'équation $(E)$ par $ 8 \times 7^x $ (qui est strictement positif) : \[ \frac{15}{8} \left(\frac{4}{7}\right)^x + \left(\frac{5}{7}\right)^x + \left(\frac{6}{7}\right)^x - 1 = 0 \] Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = \frac{15}{8} \left(\frac{4}{7}\right)^x + \left(\frac{5}{7}\right)^x + \left(\frac{6}{7}\right)^x - 1 \] Les fonctions de la forme $ x \mapsto q^x $ avec $ 0 < q < 1 $ sont strictement décroissantes sur $ \mathbb{R} $.
  $ f $ est une somme de trois fonctions strictement décroissantes, elle est donc **strictement décroissante** sur $ \mathbb{R} $.
  Une fonction strictement monotone ne peut s'annuler qu'au plus une fois.
  Puisque $ f(4) = 0 $, la solution $ x = 4 $ est l'**unique** solution de l'équation $(E)$.