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Calcul des dérivées $f'$ et $g'$
Les fonctions $ f $ et $ g $ sont dérivables sur $ \mathbb{R} $ comme produits de fonctions dérivables.- Pour $ f(x) = e^{2x} \cos x $ : \[ f'(x) = 2e^{2x} \cos x - e^{2x} \sin x = 2f(x) - g(x) \]
- Pour $ g(x) = e^{2x} \sin x $ : \[ g'(x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x = 2g(x) + f(x) \]
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DĂ©duction des primitives de $f$ et $g$
D'aprÚs les relations précédentes, nous avons le systÚme suivant : $$\begin{cases} f' = 2f - g \quad (1)\\\\ g' = f + 2g \quad (2) \end{cases} $$ En combinant ces équations on tire $f$ et $g$ en fonction de $f'$ et $g'$: $$\begin{cases} f=\dfrac{1}{5}(2f'+g') \quad (3) \\\\ g = \dfrac{1}{5}(-f' + 2g')\quad (4) \end{cases} $$ On en déduit des primitives $F$ et $G$, respectivement, de $f$ et $g$: $$\begin{cases} F=\dfrac{1}{5}(2f+g) \quad (3) \\ G = \dfrac{1}{5}(-f + 2g)\quad (4) \end{cases} $$ En subsituant les expressions de $f(x)$ et $g(x)$, on trouve: \[ \begin{cases} F(x)=\frac{e^{2x}}{5}(2\cos x + \sin x) \quad (3) \\\\ G(x) = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) \quad (4) \end{cases} \]
Approche par les nombres complexes (Approfondissement)
Soit la fonction $ E $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ E(x) = f(x) + i g(x) = e^{(2+i)x} $.
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DĂ©rivation et systĂšme
En dérivant $ E $ comme une exponentielle complexe : \[ E'(x) = (2+i) e^{(2+i)x} = (2+i)(f(x) + i g(x)) \] \[ E'(x) = 2f(x) + 2ig(x) + if(x) - g(x) = (2f(x) - g(x)) + i(f(x) + 2g(x)) \] Par identification des parties réelle et imaginaire avec $ E' = f' + ig' $, on retrouve : \[ f'(x) = 2f(x) - g(x) \quad \text{et} \quad g'(x) = f(x) + 2g(x) \] -
Recherche de primitives
Une primitive de $ E $ est : \begin{align*} \int E(x) \, dx &= \frac{1}{2+i} e^{(2+i)x}\\ \int E(x)\,dx &= \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} (f(x) + i g(x))\\ \int E(x) \, dx &= \frac{2-i}{5} (f(x) + i g(x))\\ \int E(x) \, dx& = \frac{1}{5} [ (2f(x) + g(x)) + i(2g(x) - f(x)) ] \end{align*} On retrouves alors les résultats de la premiÚre approche: \[F(x)= \frac{1}{5}(2f(x) + g(x))\qquad ; \qquad G(x)=\dfrac{1}{5}(2g(x) - f(x))\]
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