Partie I
- Variations de $f$ :
La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables.
Pour tout $x > 0$ : \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \] Le signe de $f'(x)$ dépend de celui de $1 - \ln(x)$ :- $f'(x) = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e$.
- $f'(x) > 0 \iff x < e$.
- $f'(x) < 0 \iff x > e$.
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$.
- Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Tableau de variations de $~~f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
Courbe représentative de $f$:
Courbe $\mathcal{C_f}$
Légende:f(x) = log(x)/x - Nombre de solutions de $f(x) = c$ :
- Si $c > 1/e$ : aucune solution.
- Si $c = 1/e$ : une solution unique ($x = e$).
- Si $0 < c < 1/e$ : deux solutions (une dans $]1, e[$ et une dans $]e, +\infty[$).
- Si $c \leq 0$ : une solution unique dans $]0, 1]$.
- L'équation $f(x) = c$ admet exactement deux racines réelles distinctes si et seulement si $c \in ]0, \frac{1}{e}[$.
Solution - Partie II
- Équivalence :
Puisque $a, b > 0$, on peut utiliser le logarithme : \[ a^b = b^a \iff \ln(a^b) = \ln(b^a) \iff b\ln(a) = a\ln(b) \] En divisant par $ab$ (non nul), on obtient : \[ \frac{\ln(a)}{a} = \frac{\ln(b)}{b} \iff f(a) = f(b) \] - Condition sur $a$ et $b$ ($a > b$) :
Pour que $f(a) = f(b)$ avec $a \neq b$, la valeur commune $c = f(a) = f(b)$ doit être dans $]0, 1/e[$. D'après les variations de $f$, pour avoir deux antécédents distincts, l'un doit être dans $]1, e[$ et l'autre dans $]e, +\infty[$. Comme $a > b$, la condition nécessaire est $b \in ]1, e[$ et $a \in ]e, +\infty[$. - Applications :
- Si $a > b \ge 3$, alors $b > e$ (car $e \approx 2,718$). Or, $f$ est strictement décroissante sur $[e, +\infty[$. Donc $f(a) \neq f(b)$, ce qui rend l'équation impossible.
- Le seul entier $b$ dans $]1, e[$ est $b = 2$. L'équation devient $a^2 = 2^a$. Pour $a=3$, $9 \neq 8$. Pour $a=4$, $4^2 = 16$ et $2^4 = 16$. Le couple est $(4, 2)$.
- Approche arithmétique:
- Démonstration utilisant les outils propres de l'arithmétique :
Soient $a, b \in \mathbb{N}^*$ tels que $a > b$ et $a^b = b^a$.- L'égalité $(da')^b = (db')^a$ implique, après simplification par $d^b$, que $a'^b = d^{a-b} b'^a$.
- Comme $pgcd(a', b') = 1$, alors $b'$ doit être égal à $1$ .
- D'où $b = d$ et $a = da'$, ce qui signifie que $b$ divise $a$. On peut donc écrire $a = kb$ avec $k \in \mathbb{N}$ et $k > 1$.
- Résolution de l'équation :
En remplaçant $a$ par $kb$ dans $a^b = b^a$, on obtient : \[ (kb)^b = b^{kb} \implies k^b b^b = b^{kb} \] En divisant par $b^b$, il vient : \[ k^b = b^{b(k-1)} \implies k = b^{k-1} \] - Analyse des cas :
- Si $b = 2$, l'équation $k = 2^{k-1}$ admet pour seule solution entière $k=2$ (le cas $k=1$ étant exclu car $a > b$).
L'égalité $a^2 = 2^a$ montre que a est une puissance de 2 (Uncité de la décomposition en facteurs premiers.)
Posons donc $a = 2^k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$.
En remplaçant $a$ par $2^k$, l'équation devient : \[ (2^k)^2 = 2^{2^k} \] Ce qui équivaut à : \[ 2^{2k} = 2^{2^k} \] - Démonstration utilisant les outils propres de l'arithmétique :
- Nous obtenons : \[ 2k = 2^k \] En divisant par $2$, on aboutit à l'équation fondamentale : \[ k = 2^{k-1} \]
- $k = 1$, ce qui donne $a = 2^1 = 2$. Or, on a supposé $a > b$, donc ce cas est exclu.
- $k = 2$, ce qui donne $a = 2^2 = 4$.
Comme nous l'avons montré précédemment, les seules solutions entières de cette équation sont :
Comparer ces nombres revient à comparer $f(2025)$ et $f(2026)$. Comme $2025 > e$ et $2026 > e$, et que $f$ décroît sur $[e, +\infty[$ : \[ f(2025) > f(2026) \implies \frac{\ln(2025)}{2025} > \frac{\ln(2026)}{2026} \] \[ \implies 2026\ln(2025) > 2025\ln(2026) \implies 2025^{2026} > 2026^{2025} \]