1. Montrons l'identité pour les réels $x, y, z$ :
    En développant l'expression, nous obtenons : \[ x(y-z) + y(z-x) + z(x-y) = xy - xz + yz - yx + zx - zy \] On constate que : \[ xy - yx - xz + zx + yz - zy = 0 \] L'égalité est donc bien vérifiée pour tous réels $x, y, z$.
  2. Déduisons-en l'égalité pour $a, b, c \in \mathbb{R}^*_+$ :
    Posons: \[\ln(a) = x\qquad ; \qquad \ln(b) = y \qquad ;\qquad \ln(c) = z\]
    On a alors :
    • $\ln(b/c) = \ln(b) - \ln(c) = y - z$
    • $\ln(c/a) = \ln(c) - \ln(a) = z - x$
    • $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b) = x - y$
    Et : \[a=e^x \qquad ;\qquad b=\ln y \qquad ; \qquad c=\ln(c)\] On obitent alors: \[P = a^{\ln(b/c)} \cdot b^{\ln(c/a)} \cdot c^{\ln(a/b)}=e^{x(y-z)}\cdot e^{y(z-x)}\cdot e^{z(x-y)}\] Ce qui implique: \[P=e^{x(y-z) + y(z-x) + z(x-y)} \] D'aprĂšs la question 1, l'exposant est nul et donc : \[ P = e^0 = 1 \]