• On observe que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ e_n'(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = e_{n-1}(x) \]
  • Supposons que $e_{n+1}$ possĂšde une racine multiple $z$. Alors : \[ e_{n+1}(z) = 0 \quad \text{et} \quad e_{n+1}'(z) = 0 \] Comme $e_{n+1}' = e_n$, on en dĂ©duit $e_n(z) = 0$.
    En utilisant la relation \[e_{n+1}(x) = e_n(x) + \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\] On obtient : $~z=0$ . ce qui est absurde car $e_{n+1}(0)=1$
  • Conclusion:
    Toutes les racines de $e_{n+1}$ sont donc simples.