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Propriété de dérivabilité :
$f$ étant dérivable en 0 avec $f(0)=0$, on a : \[f(x) = f'(0)x + x \varphi(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x \to 0} \varphi(x) = 0\] -
Expression de la somme :
\[S_n = \frac{f'(0)}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} + R_n \quad \text{où} \quad R_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \varphi\left(\frac{k}{n^2}\right)\] -
Calcul de la limite de $R_n$ :
On a: $ \lim\limits_{x \to 0} \varphi(x) = 0$. Ce qui signifie en prenant un $\epsilon>0$ (assez petit) :
Il existe $\delta > 0$ tel que $|x| < \delta \implies |\varphi(x)| < \varepsilon$.
Pour $n > \frac{1}{\delta}$, on a $\frac{k}{n^2} \leq \frac{1}{n} < \delta$ pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$.
Alors : \[|R_n| \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} ~\left |\varphi\left(\frac{k}{n^2}\right)\right| < \varepsilon \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} = \varepsilon \frac{n(n+1)}{2n^2} \leq \varepsilon\] D'où $\lim_{n \to +\infty} R_n = 0$. -
Conclusion :
La limite de la suite est : \[\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{2} f'(0)\]