I. Étude des variations de la fonction $f$

1. Calcul de la dérivée :
   \[f'(x) = 1 - \frac{2x}{1+x^2}\] Soit: \[f'(x) = \frac{(x-1)^2}{1+x^2}\]
2. Justification de f''(1)=0 :On a:
   \[f'(x)=(x-1)^2g(x)\] $g(x)=\frac{1}{1+x^2}~$ est une fonction dérivable sur $~\mathbb R$
   Et donc sans calcul on en tire que $f''(1)=0$.
   En effet: \[\dfrac{f'(x)-f'(1)}{x-1}=(x-1)g(x)\] La limite en 1 donne évidemment $~f''(1)=0$
   
3. Point d'inflexion :
   $f'(1)=0~$ et $~f'(x) \geq 0~$ sur $~\mathbb{R}~$. La courbe traverse sa tangente en $~A(1, 1-\ln(2))~$.
4. Branche infinie en +infini : \[\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{\ln(1+x^2)}{x} = 1 - \frac{2\ln(x) + \ln(1+1/x^2)}{x} \] Ce qui implique: \[\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{\ln(1+x^2)}{x} = 1 - \dfrac{2\ln(x)}{x} -\dfrac{\ln(1+1/x^2)}{x}\] Soit: \[\frac{f(x)}{x} = 1 \] $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x) = -\infty$. Branche parabolique de direction $y=x$.

1. Variations

on a: \[u_{n+1} - u_n = -\ln(1+u_n^2) \leq 0\] La suite est donc décroissante.

2. Cas $u_0 \geq 0$ : Convergence vers 0

• Récurrence : Si $u_n \geq 0$, alors $f(u_n) \geq f(0)$ (car $f \nearrow$).
  Comme $f(0)=0$, on a $u_{n+1} \geq 0$.
• Limite : Décroissante et minorée par 0, la suite converge vers: \[L=f(L)=L-\ln(1+L^2)\] Soit $L=0$.
  Donc la suite $u_n$ converge vers $0$ dans ce cas:

3. Cas $u_0 < 0$ : Divergence vers -infini

• Par décroissance, $u_n \leq u_0 < 0$.
• Si on suppose que la suite converge, alors on aura $L=f(L)$ qui mène à $L=0$.
  Ce qui est absurde car $~L \leq u_0 < 0$.
• Dans ce cas on a: $~\lim\limits_{+\infty}{u_n}=-\infty$