Étude de $f(x) = x^5 - 5x + 1$

1. Variations

   $f'(x) = 5(x^4-1)$. La dérivée s'annule en $-1$ et $1$. $f$ est croissante sur $]-\infty, -1]$, décroissante sur $[-1, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$.
2. Tableau de variations:
   
   

   $x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$+\infty$
   $f'(x)$	+	0	-	0	+
   $f(x)$	$-\infty$	$5$	$-3$	$+\infty$

3. 
   

   Théorème des valeurs intermédiaires

   • Sur $]-\infty, -1]$, $f$ va de $-\infty$ à $5$ : une solution.
   • Sur $[-1, 1]$, $f$ va de $5$ à $-3$ : une solution.
   • Sur $[1, +\infty[$, $f$ va de $-3$ à $+\infty$ : une solution.
   L'équation possède donc exactement trois racines réelles.