Calcul des dérivées premières et secondes

• Mehtode 1: Formule de Leibnitz:
  Posons $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$. D'après la formule de dérivation de la composée (produit d'ordre $n$) : \[g^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)\] \[g^{(n)}(x) = \left[ \binom{n}{0}x^2 + \binom{n}{1}(2x) + \binom{n}{2}(2) \right] e^x\] \[g^{(n)}(x) = \left( x^2 + 2nx + n(n-1) \right)e^x\]
• Méthode 2: Par récurrence:
  En dérivant $g^{(n)}$, on trouve : \[g^{(n+1)}(x) = \left[ a_n x^2 + (2a_n + b_n)x + (b_n + c_n) \right]e^x\] D'où les relations :
  • $a_{n+1} = a_n$
  • $b_{n+1} = b_n + 2a_n$
  • $c_{n+1} = c_n + b_n$
  Par itération avec $a_0=1, b_0=0, c_0=0$ :
  • $a_n = 1$
  • $b_n = 2n$
  • $c_n = n(n-1)$
  Le résultat est parfaitement cohérent avec la méthode de Leibniz.