1. Existence de $\varphi$
    De l'égalité $g(2x) - g(x) = \ell x + x\varphi(x)$, on tire pour $x \neq 0$ : \[ \varphi(x) = \frac{g(2x)-g(x)}{x} - \ell \] Par hypothÚse sur la limite du taux de variation, on a bien : \[ \lim_{x\to 0} \varphi(x) = \lim_{x\to 0} \left( \frac{g(2x)-g(x)}{x} \right) - \ell = \ell - \ell = 0 \]
  2. Somme télescopique
    En appliquant l'égalité aux points $\frac{x}{2^k}$ et en sommant de $k=1$ à $n$ : \[ \sum_{k=1}^n \left[ g\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right) - g\left(\frac{x}{2^k}\right) \right] = \sum_{k=1}^n \frac{\ell x}{2^k} + \sum_{k=1}^n \frac{x}{2^k}\varphi\left(\frac{x}{2^k}\right) \] Par télescopage à gauche, on obtient : \[ g(x) - g(x/2^n) = \ell x \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} + \sum_{k=1}^n \frac{x}{2^k}\varphi\left(\frac{x}{2^k}\right) \]
  3. Majoration et Limite
    Puisque $\lim_{x\to 0} \varphi(x) = 0$, pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x| < \delta \implies |\varphi(x)| \leq \epsilon$. Alors : \[ \left| \sum_{k=1}^n \frac{x}{2^k}\varphi\left(\frac{x}{2^k}\right) \right| \leq |x| \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \left| \varphi\left(\frac{x}{2^k}\right) \right| \leq \epsilon |x| \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \leq \epsilon |x| \] En passant Ă  la limite quand $n \to +\infty$ ($g$ Ă©tant continue en $0$) : \[ |g(x) - g(0) - \ell x| \leq \epsilon |x| \] Ce qui implique, ce qui implique que : $~g'(0) = \ell$.