Exercice : Approximation affine
  1. Justification de la dérivabilité
    La fonction $f$ est la composée des fonctions suivante:
    $(x \longmapsto x+8)$ et puis de la fonction: $~x\longmapsto \sqrt[3]{x}$.
    Comme $~(x+8)~$ est dérivable en $0$ et ne s'y annule pas, alors $~f~$ est dérivable en $0$.
    On a: $~f(0)=2$ et : \begin{align*} f' : & \mathbb{R} \setminus \{-8\} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+8)^2}} \\ \end{align*} D'oĂč $f'(0) = \frac{1}{12}$.
  2. Approximation affine
    Au voisinage de $0$, on utilise la formule $f(x) \approx f(0) + xf'(0)$. On obtient : \[ \sqrt[3]{x+8} \approx 2 + \frac{x}{12} \]
  3. Valeurs approchées
    1. Pour $\sqrt[3]{8,004}$, on prend $x=0,004$ : $\sqrt[3]{8,004} \approx 2 + \frac{0,004}{12} \approx 2,000333$.
    2. Pour $\sqrt[3]{7,9995}$, on prend $x=-0,0005$ : $\sqrt[3]{7,9995} \approx 2 - \frac{0,0005}{12} \approx 1,999958$.