Solution de l'exercice (Variante)

On souhaite démontrer par récurrence que : \[D^{n+1}(x^n e^{1/x}) = \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}} e^{1/x}\]

  • Initialisation : Pour $n = 0$, On calcule: $~D^1(x^0 e^{1/x}) = D(e^{1/x})$.
    En utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée : \[ D(e^{1/x}) = -\frac{1}{x^2} e^{1/x} \] L'expression pour $n=0$ donne : $\frac{(-1)^{0+1}}{x^{0+2}} e^{1/x} = \frac{-1}{x^2} e^{1/x}$.
    La propriété est donc vérifiée au rang $n=0$.

  • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
    Pour le rang $n+1$, calculons $D^{n+2}(x^{n+1} e^{1/x})$:

    Il est facile de voir que:
    \[D^{n+2}(x^{n+1} e^{1/x}) = D^{n+1} \left( D(x^{n+1} e^{1/x}) \right)\]
    Calculons la dérivée première : \[ D(x^{n+1} e^{1/x}) = (n+1)x^n e^{1/x} + x^{n+1} \left( -\frac{1}{x^2} \right) e^{1/x} \] Soit: \[ D(x^{n+1} e^{1/x})= (n+1)x^n e^{1/x} - x^{n-1} e^{1/x} \] Appliquons maintenant l'opérateur de dérivation, $D^{n+1}$ qui est lineaire : \[ D^{n+1} \left( (n+1)x^n e^{1/x} - x^{n-1} e^{1/x} \right) = (n+1) D^{n+1}(x^n e^{1/x}) - D^{n+1}(x^{n-1} e^{1/x}) \] En utilisant l'hypothèse de récurrence:
    • pour le premier terme : \[ (n+1) D^{n+1}(x^n e^{1/x}) = (n+1) \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}} e^{1/x} \]
    • Pour le second terme: \[ D^{n+1}(x^{n-1} e^{1/x}) = D \left( D^n(x^{n-1} e^{1/x}) \right)\].
    Par l'hypothèse au rang $n-1$: \[D^n(x^{n-1} e^{1/x}) = \frac{(-1)^n}{x^{n+1}} e^{1/x}\] Donc : \[ D^{n+1}(x^{n-1} e^{1/x}) = D \left( \frac{(-1)^n}{x^{n+1}} e^{1/x} \right) \] Ce qui implique: \[ D^{n+1}(x^{n-1} e^{1/x})= (-1)^n \left[ \frac{-(n+1)}{x^{n+2}} e^{1/x} + \frac{1}{x^{n+1}} \left( -\frac{1}{x^2} \right) e^{1/x} \right] \] Soit \[ D^{n+1}(x^{n-1} e^{1/x})= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{x^{n+2}} e^{1/x} + \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+3}} e^{1/x} \] En soustrayant les deux résultats : \[ D^{n+2}(x^{n+1} e^{1/x}) = \left[ \frac{(n+1)(-1)^{n+1}}{x^{n+2}} e^{1/x} \right] - \left[ \frac{(n+1)(-1)^{n+1}}{x^{n+2}} e^{1/x} + \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+3}} e^{1/x} \right] \] Après simplification des termes identiques, il reste : \[ D^{n+2}(x^{n+1} e^{1/x}) = - \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+3}} e^{1/x} = \frac{(-1)^{n+2}}{x^{n+3}} e^{1/x} \]
  • Conclusion : La relation est vérifiée au rang $n+1$.
Propriétés de l'opérateur $D$ et stratégie de récurrence
  • Règle de dérivation avec $D$ :
    $f^{(n+p)}(x) =(f^{(n)})^{(p)}(x)=(f^{(p)})^{(n)}(x)=(D^{n+p}f)(x)=D^n(D^pf)(x)=D^p(D^nf)(x)$

  • Stratégie de réduction : En utilisant la propriété $D^{n+2} = D^{n+1} \circ D$, on peut dériver l'expression une première fois pour simplifier son degré avant d'appliquer l'hypothèse de récurrence.
  • Linéarité : L'opérateur $D^n$ est linéaire, ce qui permet de distribuer la dérivation sur chaque terme de la somme obtenue après la première étape : $D^n(af + bg) = aD^nf + bD^ng$.