1. Première méthode :
    La fonction $f$ est de la forme $u^m$ avec $u(x)=1+x$ et $m=2n$.
    En appliquant la formule de dérivation d'une fonction composée, la dérivée d'ordre $n$ est : \[ f^{(n)}(x) = \frac{(2n)!}{(2n-n)!}(1+x)^{2n-n} = \frac{(2n)!}{n!}(1+x)^n \] En évaluant en $x=0$, on obtient : \[ f^{(n)}(0) = \frac{(2n)!}{n!} \]
  2. Seconde méthode :
    Écrivons $f(x) = u(x)v(x)$ avec $u(x) = (1+x)^n$ et $v(x) = (1+x)^n$.

    D'après la formule de Leibniz : \[ f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) \] En $x=0$, la dérivée d'ordre $j$ de $(1+x)^n$ est $u^{(j)}(0) = \frac{n!}{(n-j)!}$.
    Le terme général de la somme en $0$ devient : \[ C_n^k \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{n!}{k!} = n! \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot C_n^k = n! (C_n^k)^2 \] Ainsi : \[ f^{(n)}(0) = n! \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 \]
  3. Conclusion :
    En égalisant les deux expressions de $f^{(n)}(0)$, on a : \[ n! \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = \frac{(2n)!}{n!} \] D'où : \[ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = C_{2n}^n \]
L'astuce de la double évaluation

Cette méthode est classique pour démontrer des identités combinatoires :

  • Étape 1 : On choisit une fonction (ici $(1+x)^{2n}$) que l'on peut exprimer comme un produit.
  • Étape 2 : On calcule sa dérivée $n$-ième de deux façons (composition vs produit/Leibniz).
  • Étape 3 : L'égalité des résultats en un point fixe ( souvent $~0$ ) permet d'isoler la somme recherchée.