Solution de l'exercice
  1. Calculons les dérivées des fonctions suivantes :
    1. Pour $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ :
      En utilisant la formule de dérivation de la fonction composée $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x) = 1 + x^2 \sin^2 x$ :
      $u'(x) = 2x \sin^2 x + 2x^2 \sin x \cos x = 2x \sin x (\sin x + x \cos x)$.
      D'oĂč la dĂ©rivĂ©e : \[ x \longmapsto \frac{x \sin x (\sin x + x \cos x)}{\sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}} \]
    2. Pour $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ :
      Posons $u(x) = \exp(1/x)$. Par dérivation de la composée, $u'(x) = -\frac{1}{x^2}\exp(1/x)$.
      En appliquant la formule du quotient $(\frac{u+1}{u-1})' = \frac{-2u'}{(u-1)^2}$, on obtient :
      \[ x \longmapsto \frac{2 \exp(1/x)}{x^2 (\exp(1/x) - 1)^2} \]
    3. Pour $x \longmapsto \ln\left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)$ :
      En utilisant les propriétés du logarithme, on a $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$.
      La dérivée de la composée $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ donne :
      \[ \frac{\cos x}{1 + \sin x} - \frac{-\cos x}{1 - \sin x} = \frac{\cos x (1 - \sin x) + \cos x (1 + \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2 \cos x}{\cos^2 x} \]
      D'oĂč la dĂ©rivĂ©e : \[ x \longmapsto \frac{2}{\cos x} \]
    4. Pour $x \longmapsto (x(x - 2))^{1/3}$ :
      En utilisant la formule $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ avec $n = 1/3$ et $u(x) = x^2 - 2x$ :
      \[ x \longmapsto \frac{1}{3} (2x - 2) (x^2 - 2x)^{-2/3} = \frac{2(x - 1)}{3 (x(x - 2))^{2/3}} \]

  2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculons les dérivées suivantes :
    1. Pour $x \longmapsto \sin(f(x)^2)$ :
      Par dérivation de la fonction composée, on dérive d'abord l'argument $u(x) = f(x)^2$ qui donne $u'(x) = 2 f'(x) f(x)$.
      D'oĂč la dĂ©rivĂ©e : \[ x \longmapsto 2 f'(x) f(x) \cos(f(x)^2) \]
    2. Pour $x \longmapsto \sin(f(x^2))$ :
      Ici, l'argument est $u(x) = f(x^2)$, dont la dérivée est $u'(x) = 2x f'(x^2)$.
      D'oĂč la dĂ©rivĂ©e : \[ x \longmapsto 2x f'(x^2) \cos(f(x^2)) \]
    3. Pour $x \longmapsto \ln(|f(x)|)$ avec $f(x) \neq 0$ :
      La formule de dérivation de la composée pour le logarithme d'une valeur absolue est :
      \[ x \longmapsto \frac{f'(x)}{f(x)} \]

Point méthode: Explication de la Dérivée de log(|u|)

Pour justifier que $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$, il faut considérer le comportement de $u$ au voisinage d'un point $x$.

  • Etude locale du signe $u(x)$ : Soit $x$ tel que $u(x) \neq 0$. Puisque $u$ est dĂ©rivable, elle est continue en $x$. il existe un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $u$ ne s'annule pas et garde le mĂȘme signe que $u(x)$.
  • Analyse du taux d'accroissement : Pour $h$ suffisamment petit tel que $x+h \in V$, le signe de $u(x+h)$ est identique Ă  celui de $u(x)$.

    • Si $u(x) > 0$ : Pour tout $x+h \in V$, $|u(x+h)| = u(x+h)$ et $|u(x)| = u(x)$. \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(u(x+h)) - \ln(u(x))}{h} = (\ln \circ u)'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
    • Si $u(x) < 0$ : Pour tout $x+h \in V$, $|u(x+h)| = -u(x+h)$ et $|u(x)| = -u(x)$. Le taux d'accroissement devient : \[ \frac{\ln(-u(x+h)) - \ln(-u(x))}{h} \] En posant $v = -u$, on applique la dĂ©rivation de la fonction composĂ©e : \[ (\ln \circ v)'(x) = \frac{v'(x)}{v(x)} = \frac{-u'(x)}{-u(x)} = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
  • Conclusion : La continuitĂ© de $u$ permet de figer le signe localement, ce qui assure que la valeur absolue ne "saute" pas entre $x$ et $x+h$. On obtient alors :
    \[ (\ln|u|)' = \frac{u'}{u} \]