1. Continuité et dérivabilité de $g$

La continuité de $~g(x)~$ en $~a$: Par hypothèse on a: \[\lim\limits_{x\to a^+}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}{\dfrac{f(x)-f(x)}{x-a}}=g'(a)=0\] Donc: \[\lim\limits_{x\to a^+}{g(x)}=0=g(a)\] Par conséquent g est continue à droite de $~a$.

D'autres parts: La fonction $g$ est dérivable sur $]a, b]$ puisque elle est le quotient de deux fonction dérivables sur le même intervalle.

2. Application de Rolle à la fonction $g$ sur $[a,b]$

On a:
$g(a) = 0\quad \text{ et}\quad g(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0~~$ (car $~~f(a)=f(b)$).

Par application du théorème de Rolle, il existe $~c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$.

3. Conclusion

Les rgles de dérivation nous permettent de calculer $~g'(x)~$: \[g'(x)=\dfrac{f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}\] Or: $~~g'(c)=0\iff f'(c)(c-a)-(f(c)-f(a))=0$

On en tire: \[ f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}\]