1. Existence de $c_n$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On applique le théorème de Rolle à $f$ sur $[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}]$ :

• $f(\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n+1}) = 0$.
• Il existe donc $c_n \in ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}[$ tel que $f'(c_n) = 0$.

2. Solutions de l'équation $\tan x = x$

$f'(c_n) = 0 \implies \tan(\frac{\pi}{c_n}) = \frac{\pi}{c_n}$.

Rigueur de la conclusion :

• Les intervalles $I_n = ]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}[$ sont disjoints deux à deux, donc les points $c_n$ sont disjoints deux à deux.
• Ceci implique que les valeurs $\frac{\pi}{c_n}$ sont également disjointes deux à deux.
• L'équation $\tan x = x$ admet donc une infinité de solutions dans $\mathbb{R}$.