Exercice D6 : Sommes de Moivre et Dérivation

1. Détail du calcul de $f(x)$

On pose: $~~S_n = \sum_{k=1}^n e^{ikx}$.
C'est une somme géométrique.

\[ S_n = e^{ix} \frac{1 - e^{inx}}{1 - e^{ix}} \]

En factorisant par l'angle moitié :

\[ S_n = e^{ix} \frac{e^{i\frac{nx}{2}}(-2i \sin\frac{nx}{2})}{e^{i\frac{x}{2}}(-2i \sin\frac{x}{2})} = e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \frac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \]

En isolant la partie imaginaire via la formule de Moivre :

\[ f(x) = \frac{\sin(\frac{nx}{2})\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \]

2. Calcul de $g(x)$ par dérivation

On utilise la relation $g(x) = f'(x)$ car $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.

3. Somme des $kx^{k-1}$

il est bien connu que tout $x\neq 1$: \[\sum\limits_{k=0}^n{x^k}=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\]

Par dérivation on par rapport à la variable $x$ :

\[ \sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]

4. Déduction pour $x = 1/2$

En évaluant pour $x = 1/2$ :

\[ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 2 - \frac{n+2}{2^n} \]