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1. Domaine de définition

La fonction est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \neq 0$.
Ainsi, $~D_f = \mathbb{R}^*$.

2. Majoration de $|f(x)|$

Pour tout $x \in D_f$ :

\[ |f(x)| = |x^2| \cdot |\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \]

Comme $|\sin(u)| \leq 1$, on en déduit que $|f(x)| \leq x^2$.

3. Prolongement par continuité en $0$

On a $-x^2 \leq f(x) \leq x^2$. Par le théorème des gendarmes :

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \]

$f~$ est donc prolongeable par continuité en $0$ en posant $~f(0) = 0$.

4. Dérivabilité en $0$

Calcul du taux d'accroissement :

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0 \end{align*} \] Car: $ |x\sin(\frac{1}{x})|\leq |x|$

La limite est finie, donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = 0$.

5. Expression de $f'(x)$ pour $x \neq 0$

\[ \begin{align*} f'(x) &= 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \left( -\frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \right) \\ &= 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{align*} \]

6. Continuité de $f'$ en $0$

La limite de $\cos(1/x)$ en $0$ n'existe pas.
Par conséquent, $f'~$ n'a pas de limite en $0$ et n'est pas continue en 0.